적분 전략 고르기 연습문제 — CLP-2 · 1.13절 · 30번

CLP-2 · 1.13절 · 30번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos t+1}\ \mathrm{d}t$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos t+1}\ \mathrm{d}t$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

제곱근이 없었으면 좋겠다. 다행히 코사인을 코사인의 제곱으로 바꾸는 방법이 있다. 바로 항등식 $\cos(2x) = 2\cos^2x -1$ 이다. $2x=t$ 로 놓으면 $\cos t = 2\cos^2(t/2)-1$ 이다.

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos t+1}\ \mathrm{d}t&=\int_0^{\pi/2}\sqrt{2\cos^2 (t/2)}~\mathrm{d}t = \sqrt{2}\int_0^{\pi/2} |\cos (t/2)|~\mathrm{d}t \\ \text{구간 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 에서 $\cos (t/2) >0$ 이므로 절댓값 기호를 없앨 수 있다.} \\ &= \sqrt{2}\int_0^{\pi/2} \cos (t/2)~\mathrm{d}t = \sqrt{2}\left[2\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right]_0^{\pi/2}\\ &=2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = {2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We would like to not have that square root there. Luckily, there's a way of turning cosine into cosine squared: the identity $\cos(2x) = 2\cos^2x -1$ . If we take $2x=t$ , then $\cos t = 2\cos^2(t/2)-1$ .

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos t+1}\ \mathrm{d}t&=\int_0^{\pi/2}\sqrt{2\cos^2 (t/2)}~\mathrm{d}t = \sqrt{2}\int_0^{\pi/2} |\cos (t/2)|~\mathrm{d}t \\ \text{Over the interval $[0,\frac{\pi}{2}]$, $\cos (t/2) >0$, so we can drop the absolute values.} \\ &= \sqrt{2}\int_0^{\pi/2} \cos (t/2)~\mathrm{d}t = \sqrt{2}\left[2\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right]_0^{\pi/2}\\ &=2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = {2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 6번우리말 번역

$\displaystyle\int_1^2 x^2\log x ~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

두 함수가 곱해져 있지만 서로 깔끔하게 간단해지지는 않는다. 그러나 로그를 미분하고 $x^2$ 을 적분하면 다항식을 얻는다. 그러므로 부분적분을 사용하자.

$u=\log x \, \mathrm{d}v=x^2\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}u=(1/x)\mathrm{d}x \, v=x^3/3$

먼저 부정적분을 구하자. 적분 구간의 위끝과 아래끝은 나중에 다룬다.

$\begin{aligned} \int x^2\log x \mathrm{d}x &=\underbrace{(\log x)}_{u}\underbrace{(x^3/3)}_{v})-\int\underbrace{(x^3/3)}_{v}\underbrace{(1/x)\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{3}\int x^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}x^3\log x -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}x^3+C \\ &=\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{9}x^3+C \\ \text{ 미적분학의 기본정리 2를 사용하여 정적분의 값을 구한다.} \\ \int_1^2 x^3\log x \mathrm{d}x&= \left[\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{9}x^3\right]_1^2\\ &=\left[\frac{1}{3}2^3\log 2 - \frac{1}{9}2^3 \right] - \left[\frac{1}{3}1^3\log 1 - \frac{1}{9}1^3 \right]\\ &=\frac{8\log 2}{3}-\frac{8}{9}-0+\frac{1}{9}\\ &=\frac{8}{3}\log2-\frac{7}{9} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 적분 전략 고르기계산도전자동 분류