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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

정적분의 뜻과 성질

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 1.2절 · 2번우리말 번역

∫0bcos⁡x dx=sin⁡b\displaystyle\int_0^b \cos x\ \mathrm{d}x=\sin b 이면, ∫abcos⁡x dx\displaystyle\int_a^b \cos x\ \mathrm{d}x 의 값은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

If ∫0bcos⁡x dx=sin⁡b\displaystyle\int_0^b \cos x\ \mathrm{d}x=\sin b, then what is ∫abcos⁡x dx\displaystyle\int_a^b \cos x\ \mathrm{d}x?

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등식

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx , we see∫abcos⁡x dx=∫a0cos⁡x dx+∫0bcos⁡x dx=−∫0acos⁡x dx+∫0bcos⁡x dx=−sin⁡a+sin⁡b=sin⁡b−sin⁡a\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^c f(x)\ \mathrm{d}x+ \int\limits_c^b f(x)\ \mathrm{d}x\ , \\ \text{ we see} \\ \int\limits_a^b\cos x\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^0 \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\&= -\int\limits_0^a \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin a + \sin b\\ &=\sin b - \sin a \end{aligned}

을 이용하면 위와 같이 구할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the identity

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx , we see∫abcos⁡x dx=∫a0cos⁡x dx+∫0bcos⁡x dx=−∫0acos⁡x dx+∫0bcos⁡x dx=−sin⁡a+sin⁡b=sin⁡b−sin⁡a\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^c f(x)\ \mathrm{d}x+ \int\limits_c^b f(x)\ \mathrm{d}x\ , \\ \text{ we see} \\ \int\limits_a^b\cos x\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^0 \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\&= -\int\limits_0^a \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin a + \sin b\\ &=\sin b - \sin a \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.2절 · 3번우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) ∫−3−2f(x)dx=−∫32f(x)dx\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x. (b) f(x)f(x) 가 기함수이면 ∫−3−2f(x) dx=∫23f(x) dx\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x 이다. (c) ∫01f(x)⋅g(x) dx=∫01f(x) dx⋅∫01g(x) dx\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 거짓이다. 예를 들어

f(x)={0x<0일 때1x≥0일 때\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<0$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge0$일 때} \end{cases} \end{aligned}

이면 ∫−3−2f(x)dx=0\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0 이고 −∫32f(x)dx=∫23f(x)dx=1-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1 이다.

그림

(b) 거짓이다. 예를 들어 f(x)=xf(x)=x 이면 ∫−3−2f(x) dx\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x 는 음수이고 ∫23f(x) dx\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x 는 양수이므로 둘은 같을 수 없다.

그림

(c) 거짓이다. 예를 들어 함수

f(x)={0x<12일 때1x≥12일 때그리고g(x)={0x≥12일 때1x<12일 때\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} &&\text{그리고}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x\ge \frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} \end{aligned}

을 생각하자.

그러면 모든 xx 에 대해 f(x)⋅g(x)=0f(x)\cdot g(x)=0 이므로 ∫01f(x)⋅g(x)dx=0\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0 이다. 그러나 ∫01f(x)dx=12\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2} 이고 ∫01g(x)dx=12\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2} 이므로 ∫01f(x)dx⋅∫01g(x)dx=14\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4} 이다.

그림

그림

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# 정적분의 뜻과 성질계산기본자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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