정적분의 뜻과 성질 연습문제 — CLP-2 · 1.2절 · 3번

CLP-2 · 1.2절 · 3번우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x$ . (b) $f(x)$ 가 기함수이면 $\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ 이다. (c) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x$ .

영어 원문 보기

Decide whether each of the following statements is true or false. If false, provide a counterexample. If true, provide a brief justification.

(a) $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x$ . (b) If $f(x)$ is an odd function, then $\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ . (c) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) 거짓이다. 예를 들어

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<0$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge0$일 때} \end{cases} \end{aligned}$

이면 $\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0$ 이고 $-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1$ 이다.

(b) 거짓이다. 예를 들어 $f(x)=x$ 이면 $\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 음수이고 $\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 양수이므로 둘은 같을 수 없다.

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} &&\text{그리고}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x\ge \frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} \end{aligned}$

을 생각하자.

그러면 모든 $x$ 에 대해 $f(x)\cdot g(x)=0$ 이므로 $\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0$ 이다. 그러나 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ 이고 $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ 이므로 $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) False. For example if

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ 1 & \text{for $x\ge0$} \end{cases} \end{aligned}$

then $\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0$ and $-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1$ .

(b) False. For example, if $f(x)=x$ , then $\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$ is negative while $\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ is positive, so they cannot be the same.

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x<\frac{1}{2}$} \\ 1 & \text{for $x\ge\frac{1}{2}$} \end{cases} &&\text{and}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x\ge \frac{1}{2}$} \\ 1 & \text{for $x<\frac{1}{2}$} \end{cases} \end{aligned}$

Then $f(x)\cdot g(x)=0$ for all $x$ , so $\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0$ . However, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ and $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ , so $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.2절 · 4번우리말 번역

$f(x)$ 가 양의 값만 갖는 함수일 때, $\int\limits_5^0 f(x)\ \mathrm{d}x$ 를 어림하기 위해 구간 100개로 오른쪽 리만 합을 만들려고 한다.

(a) $\Delta x$ 는 얼마인지 구하세요. (b) 직사각형의 높이는 양수인지 음수인지 판단하세요. (c) 리만 합은 양수인지 음수인지 판단하세요. (d) $x=0$ 부터 $x=5$ 까지 곡선 $y=f(x)$ 아래의 부호 있는 넓이는 양수인지 음수인지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0-5}{100} = -\dfrac{1}{20}$

참고: 정적분의 리만 합 정의를 사용한다면, 이것이 등식 $\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x$ 를 정당화하는 방법이다. (b) 직사각형의 높이는 $f(x_i)$ 로 주어지며, 여기서 $x_i = a+i\Delta x = 5 - \frac{i}{20}$ 이다. $f(x)$ 는 양의 값만 가지므로 $f(x_i) >0$ 이고, 따라서 직사각형의 높이는 양수이다. (c) 리만 합은 각 직사각형의 부호 있는 넓이의 합이다. 각 직사각형은 음수인 밑변( $\Delta x$ )과 양수인 높이( $f(x_i)$ )를 가진다. 따라서 합의 각 항은 음수이다. 음수들을 더하면 합은 음수이다. 그러므로 리만 합은 음수이다. (d) $f(x)$ 는 항상 $x$ 축 위쪽에 있으므로 $\int\limits_0^5 f(x)\mathrm{d}x$ 는 양수이다.

이 문제로 이어서 풀기

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