정적분의 뜻과 성질 연습문제 — CLP-2 · 1.2절 · 4번

CLP-2 · 1.2절 · 4번우리말 번역

$f(x)$ 가 양의 값만 갖는 함수일 때, $\int\limits_5^0 f(x)\ \mathrm{d}x$ 를 어림하기 위해 구간 100개로 오른쪽 리만 합을 만들려고 한다.

(a) $\Delta x$ 는 얼마인지 구하세요. (b) 직사각형의 높이는 양수인지 음수인지 판단하세요. (c) 리만 합은 양수인지 음수인지 판단하세요. (d) $x=0$ 부터 $x=5$ 까지 곡선 $y=f(x)$ 아래의 부호 있는 넓이는 양수인지 음수인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Suppose we want to make a right Riemann sum with 100 intervals to approximate $\int\limits_5^0 f(x)\ \mathrm{d}x$ , where $f(x)$ is a function that gives only positive values.

(a) What is $\Delta x$ ? (b) Are the heights of our rectangles positive or negative? (c) Is our Riemann sum positive or negative? (d) Is the signed area under the curve $y=f(x)$ from $x=0$ to $x=5$ positive or negative?

정답·풀이 보기

(a) $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0-5}{100} = -\dfrac{1}{20}$

참고: 정적분의 리만 합 정의를 사용한다면, 이것이 등식 $\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x$ 를 정당화하는 방법이다. (b) 직사각형의 높이는 $f(x_i)$ 로 주어지며, 여기서 $x_i = a+i\Delta x = 5 - \frac{i}{20}$ 이다. $f(x)$ 는 양의 값만 가지므로 $f(x_i) >0$ 이고, 따라서 직사각형의 높이는 양수이다. (c) 리만 합은 각 직사각형의 부호 있는 넓이의 합이다. 각 직사각형은 음수인 밑변( $\Delta x$ )과 양수인 높이( $f(x_i)$ )를 가진다. 따라서 합의 각 항은 음수이다. 음수들을 더하면 합은 음수이다. 그러므로 리만 합은 음수이다. (d) $f(x)$ 는 항상 $x$ 축 위쪽에 있으므로 $\int\limits_0^5 f(x)\mathrm{d}x$ 는 양수이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0-5}{100} = -\dfrac{1}{20}$

Note: if we were to use the Riemann-sum definition of a definite integral, this is how we would justify the identity $\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x$ . (b) The heights of the rectangles are given by $f(x_i)$ , where $x_i = a+i\Delta x = 5 - \frac{i}{20}$ . Since $f(x)$ only gives positive values, $f(x_i) >0$ , so the heights of the rectangles are positive. (c) Our Riemann sum is the sum of the signed areas of individual rectangles. Each rectangle has a negative base ( $\Delta x$ ) and a positive height ( $f(x_i)$ ). So, each term of our sum is negative. If we add up negative numbers, the sum is negative. So, the Riemann sum is negative. (d) Since $f(x)$ is always above the $x$ -axis, $\int\limits_0^5 f(x)\mathrm{d}x$ is positive.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.2절 · 12번우리말 번역

$\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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먼저 가법성을 이용한다:

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = \int_{-2}^{2} 5\,\mathrm{d}x + \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

첫 번째 정적분은 높이가 5이고 너비가 4인 직사각형의 넓이를 나타내므로 $20$ 이다. 두 번째 정적분은 $x$ 축 위쪽이면서 곡선 $y=\sqrt{4-x^2}$ 또는 $x^2+y^2=4$ 아래쪽인 영역의 넓이를 나타낸다. 이것은 반지름이 2인 반원이고, 그 넓이는 $\frac{1}{2}\pi 2^2$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = 20 + 2\pi \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분의 뜻과 성질계산기본자동 분류