정적분의 뜻과 성질 연습문제 — CLP-2 · 1.2절 · 12번

CLP-2 · 1.2절 · 12번우리말 번역

$\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 가법성을 이용한다:

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = \int_{-2}^{2} 5\,\mathrm{d}x + \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

첫 번째 정적분은 높이가 5이고 너비가 4인 직사각형의 넓이를 나타내므로 $20$ 이다. 두 번째 정적분은 $x$ 축 위쪽이면서 곡선 $y=\sqrt{4-x^2}$ 또는 $x^2+y^2=4$ 아래쪽인 영역의 넓이를 나타낸다. 이것은 반지름이 2인 반원이고, 그 넓이는 $\frac{1}{2}\pi 2^2$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = 20 + 2\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We first use additivity:

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = \int_{-2}^{2} 5\,\mathrm{d}x + \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

The first integral represents the area of a rectangle of height 5 and width 4 and so equals $20$ . The second integral represents the area above the $x$ –axis and below the curve $y=\sqrt{4-x^2}$ or $x^2+y^2=4$ . That is a semicircle of radius 2, which has area $\frac{1}{2}\pi 2^2$ . So

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = 20 + 2\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.2절 · 17번우리말 번역

다음 표를 채우세요: (우함수/기함수)와 (우함수/기함수)의 곱은 (우함수/기함수)이다. 두 함수 모두 모든 실수에서 정의되어 있다고 가정해도 됩니다.

$\begin{array}{|c||c|c|}\hline \times & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \hline \text{even} & & \\ \hline \text{odd} & & \\ \hline \end{array}$

다 풀었으면 정답 확인

우함수와 기함수의 정의를 떠올려 보자. $f(x)$ 가 우함수라는 것은 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=f(x)$ 라는 뜻이고, $f(x)$ 가 기함수라는 것은 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=-f(x)$ 라는 뜻이다.

$h(x)=f(x)\cdot g(x)$ 라 하자.

**우함수 $\times$ 우함수: ** $f$ 와 $g$ 가 모두 우함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 우함수이다.
**기함수 $\times$ 기함수: ** $f$ 와 $g$ 가 모두 기함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) =[- f(x)]\cdot [-g(x)]=f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 우함수이다.
**우함수 $\times$ 기함수: ** $f$ 가 우함수이고 $g$ 가 기함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot[- g(x)]=-[f(x)\cdot g(x)]=-h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 기함수이다. 곱셈은 교환법칙이 성립하므로 두 함수를 곱하는 순서는 상관없다.

이 표는 함수가 아니라 짝수와 홀수인 수를 (곱하는 것이 아니라) 더할 때의 표와 같음을 알 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분의 뜻과 성질계산도전자동 분류