정적분의 뜻과 성질 연습문제 — CLP-2 · 1.2절 · 17번

CLP-2 · 1.2절 · 17번우리말 번역

다음 표를 채우세요: (우함수/기함수)와 (우함수/기함수)의 곱은 (우함수/기함수)이다. 두 함수 모두 모든 실수에서 정의되어 있다고 가정해도 됩니다.

$\begin{array}{|c||c|c|}\hline \times & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \hline \text{even} & & \\ \hline \text{odd} & & \\ \hline \end{array}$

영어 원문 보기

Fill in the following table: the product of an (even/odd) function with an (even/odd) function is an (even/odd) function. You may assume that both functions are defined for all real numbers.

$\begin{array}{|c||c|c|}\hline \times & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \hline \text{even} & & \\ \hline \text{odd} & & \\ \hline \end{array}$

정답·풀이 보기

우함수와 기함수의 정의를 떠올려 보자. $f(x)$ 가 우함수라는 것은 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=f(x)$ 라는 뜻이고, $f(x)$ 가 기함수라는 것은 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=-f(x)$ 라는 뜻이다.

$h(x)=f(x)\cdot g(x)$ 라 하자.

**우함수 $\times$ 우함수: ** $f$ 와 $g$ 가 모두 우함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 우함수이다.
**기함수 $\times$ 기함수: ** $f$ 와 $g$ 가 모두 기함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) =[- f(x)]\cdot [-g(x)]=f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 우함수이다.
**우함수 $\times$ 기함수: ** $f$ 가 우함수이고 $g$ 가 기함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot[- g(x)]=-[f(x)\cdot g(x)]=-h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 기함수이다. 곱셈은 교환법칙이 성립하므로 두 함수를 곱하는 순서는 상관없다.

이 표는 함수가 아니라 짝수와 홀수인 수를 (곱하는 것이 아니라) 더할 때의 표와 같음을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's recall the definitions of even and odd functions: $f(x)$ is even if $f(-x)=f(x)$ for every $x$ in its domain, and $f(x)$ is odd if $f(-x)=-f(x)$ for every $x$ in its domain.

Let $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ .

**even $\times$ even: ** If $f$ and $g$ are both even, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot g(x)=h(x)$ , so their product is even.
**odd $\times$ odd: ** If $f$ and $g$ are both odd, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) =[- f(x)]\cdot [-g(x)]=f(x)\cdot g(x)=h(x)$ , so their product is even.
**even $\times$ odd: ** If $f$ is even and $g$ is odd, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot[- g(x)]=-[f(x)\cdot g(x)]=-h(x)$ , so their product is odd. Because multiplication is commutative, the order we multiply the functions in doesn't matter.

We note that the table would be the same as if we were adding (not multiplying) even and odd numbers (not functions).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.2절 · 16번우리말 번역

어떤 (양의 값이라고 하자) 상수 $a$ , $b$ 에 대하여 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 넓이를 구하려고 한다.

(a) 이 방정식을 타원의 위쪽 절반에 대해 푸세요. 답은 “ $y=\cdots$ " 꼴이어야 합니다. (b) 타원의 위쪽 절반의 넓이를 나타내는 적분을 쓰세요. 적분의 성질을 이용하여 피적분함수가 원의 위쪽 절반처럼 보이게 하세요. (c) 기하학적 방법과 (b)의 답을 이용하여 타원의 넓이를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $\begin{aligned} (ax)^2+(by)^2&=1\\ by&=\sqrt{1-(ax)^2}\\ y &= \frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2} \end{aligned}$ (b) 위 함수의 정의역에 속하는 $x$ 의 값은 $1-(ax)^2 \geq 0$ 을 만족하는 값이다. 즉 $-\frac{1}{a}\leq x \leq \frac{1}{a}$ 이다. 따라서 타원의 위쪽 절반의 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \displaystyle\frac{1}{b}&\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{1-(ax)^2}\ \mathrm{d}x \\ \text{원의 위쪽 절반의 방정식은 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ 이다. } \\ &=\frac{1}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{a^2\left(\frac{1}{a^2}-x^2\right)}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}a\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{a}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}\ \mathrm{d}x \end{aligned}$ (c) 함수 $y=\sqrt{\dfrac{1}{a^2}-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\dfrac{1}{a}$ 인 원의 위쪽 절반이다. 따라서 (b)의 식의 값은 $\left(\dfrac{a}{b}\right)\dfrac{\pi}{2a^2} = \dfrac{\pi}{2ab}$ 이다.

(b)의 식은 타원의 절반이었으므로, 타원의 넓이는 $\dfrac{\pi}{ab}$ 이다.

참고: 이 방법은 결과를 얻기에는 다소 길게 돌아가는 방법이었다. 기본적인 추론은 다음과 같다.

단위원 $x^2+y^2=1$ 의 넓이는 $\pi$ 이다.
타원 $(ax)^2+y^2=1$ 은 단위원을 가로 방향으로 $a$ 배만큼 줄인 것이다. 따라서 그 넓이는 $\dfrac{\pi}{a}$ 이다.
또한 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 은 앞의 타원을 세로 방향으로 $b$ 배만큼 줄인 것이다. 따라서 그 넓이는 $\dfrac{\pi}{ab}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석도전자동 분류