정적분의 뜻과 성질 연습문제 — CLP-2 · 1.2절 · 16번

CLP-2 · 1.2절 · 16번우리말 번역

어떤 (양의 값이라고 하자) 상수 $a$ , $b$ 에 대하여 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 넓이를 구하려고 한다.

(a) 이 방정식을 타원의 위쪽 절반에 대해 푸세요. 답은 “ $y=\cdots$ " 꼴이어야 합니다. (b) 타원의 위쪽 절반의 넓이를 나타내는 적분을 쓰세요. 적분의 성질을 이용하여 피적분함수가 원의 위쪽 절반처럼 보이게 하세요. (c) 기하학적 방법과 (b)의 답을 이용하여 타원의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

We want to compute the area of an ellipse, $(ax)^2+(by)^2=1$ for some (let's say positive) constants $a$ and $b$ .

(a) Solve the equation for the upper half of the ellipse. It should have the form “ $y=\cdots$ " (b) Write an integral for the area of the upper half of the ellipse. Using properties of integrals, make the integrand look like the upper half of a circle. (c) Using geometry and your answer to part (b), find the area of the ellipse.

정답·풀이 보기

(a) $\begin{aligned} (ax)^2+(by)^2&=1\\ by&=\sqrt{1-(ax)^2}\\ y &= \frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2} \end{aligned}$ (b) 위 함수의 정의역에 속하는 $x$ 의 값은 $1-(ax)^2 \geq 0$ 을 만족하는 값이다. 즉 $-\frac{1}{a}\leq x \leq \frac{1}{a}$ 이다. 따라서 타원의 위쪽 절반의 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \displaystyle\frac{1}{b}&\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{1-(ax)^2}\ \mathrm{d}x \\ \text{원의 위쪽 절반의 방정식은 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ 이다. } \\ &=\frac{1}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{a^2\left(\frac{1}{a^2}-x^2\right)}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}a\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{a}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}\ \mathrm{d}x \end{aligned}$ (c) 함수 $y=\sqrt{\dfrac{1}{a^2}-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\dfrac{1}{a}$ 인 원의 위쪽 절반이다. 따라서 (b)의 식의 값은 $\left(\dfrac{a}{b}\right)\dfrac{\pi}{2a^2} = \dfrac{\pi}{2ab}$ 이다.

(b)의 식은 타원의 절반이었으므로, 타원의 넓이는 $\dfrac{\pi}{ab}$ 이다.

참고: 이 방법은 결과를 얻기에는 다소 길게 돌아가는 방법이었다. 기본적인 추론은 다음과 같다.

단위원 $x^2+y^2=1$ 의 넓이는 $\pi$ 이다.
타원 $(ax)^2+y^2=1$ 은 단위원을 가로 방향으로 $a$ 배만큼 줄인 것이다. 따라서 그 넓이는 $\dfrac{\pi}{a}$ 이다.
또한 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 은 앞의 타원을 세로 방향으로 $b$ 배만큼 줄인 것이다. 따라서 그 넓이는 $\dfrac{\pi}{ab}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\begin{aligned} (ax)^2+(by)^2&=1\\ by&=\sqrt{1-(ax)^2}\\ y &= \frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2} \end{aligned}$ (b) The values of $x$ in the domain of the function above are those that satisfy $1-(ax)^2 \geq 0$ . That is, $-\frac{1}{a}\leq x \leq \frac{1}{a}$ . Therefore, the upper half of the ellipse has area

$\begin{aligned} \displaystyle\frac{1}{b}&\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{1-(ax)^2}\ \mathrm{d}x \\ \text{The upper half of a circle has equation $y=\sqrt{r^2-x^2}$. } \\ &=\frac{1}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{a^2\left(\frac{1}{a^2}-x^2\right)}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}a\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{a}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}\ \mathrm{d}x \end{aligned}$ (c) The function $y=\sqrt{\dfrac{1}{a^2}-x^2}$ is the upper-half of the circle centred at the origin with radius $\dfrac{1}{a}$ . So, the expression from (b) evaluates to $\left(\dfrac{a}{b}\right)\dfrac{\pi}{2a^2} = \dfrac{\pi}{2ab}$ .

The expression from (b) was half of the ellipse, so the area of the ellipse is $\dfrac{\pi}{ab}$ .

Remark: this was a slightly long-winded way of getting the result. The reasoning is basically this:

The area of the unit circle $x^2+y^2=1$ is $\pi$ .
The ellipse $(ax)^2+y^2=1$ is obtained by shrinking the unit circle horizontally by a factor of $a$ . So, its area is $\dfrac{\pi}{a}$ .
Further, the ellipse $(ax)^2+(by)^2=1$ is obtained from the previous ellipse by shrinking it vertically by a factor of $b$ . So, its area is $\dfrac{\pi}{ab}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.2절 · 15번우리말 번역

$\displaystyle\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

피적분함수 $f(x)=(x-3)^3$ 은 우함수도 기함수도 아니다. 그러나 이와 비슷한 대칭성을 가진다. 즉, $f(3+x)=-f(3-x)$ 이다. 따라서 $f$ 는 직선 $x=3$ 에 대해 "음의 대칭"이다. 이로부터 적분값이 0이 되리라고 짐작할 수 있다. $x=3$ 의 오른쪽에 있는 양의 넓이는 $x=3$ 의 왼쪽에 있는 음의 넓이와 같기 때문이다.

이를 확인하는 또 다른 방법은 $f(x)=(x-3)^3$ 의 그래프가 $g(x)=x^3$ 의 그래프를 오른쪽으로 3만큼 평행이동한 것과 같고, $g(x)$ 는 기함수라는 점에 주목하는 것이다. 따라서 $\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x = \int_{-3}^3 x^3\,\mathrm{d}x=0$

이 문제로 이어서 풀기

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