미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 5번

CLP-2 · 1.3절 · 5번우리말 번역

참 또는 거짓: $\cos(e^x)$ 의 부정적분은 $\frac{\sin(e^x)}{e^x}$ 이다.

영어 원문 보기

True or false: an antiderivative of $\cos(e^x)$ is $\frac{\sin(e^x)}{e^x}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이렇게 해 보고 싶어진다:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} &= e^x\cos(e^x) \\ \text{그러므로 아마도} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sin(e^x)}{e^x}\right\} &\stackrel{?}{=} \cos(e^x) \\ \text{미분하여 확인한다:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sin(e^x)}{e^x}\right\} &=\frac{e^x\left(\cos(e^x)\cdot e^x\right)-\sin(e^x)e^x}{e^{2x}} &\text{(몫의 미분법)}\\ & = \cos (e^x) - \frac{\sin(e^x)}{e^x}\\ &\neq \cos(e^x) \end{aligned}$

따라서 주어진 명제는 거짓이다.

부정적분을 추측할 때에는 처음 추측을 조금 고쳐야 하는 경우가 많다. 상수로 나누는 것은 대체로 잘 되지만, 함수로 나누는 것은 대체로 잘 되지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

This is tempting:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} &= e^x\cos(e^x) \\ \text{so perhaps} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sin(e^x)}{e^x}\right\} &\stackrel{?}{=} \cos(e^x) \\ \text{We check by differentiating:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sin(e^x)}{e^x}\right\} &=\frac{e^x\left(\cos(e^x)\cdot e^x\right)-\sin(e^x)e^x}{e^{2x}} &\text{(quotient rule)}\\ & = \cos (e^x) - \frac{\sin(e^x)}{e^x}\\ &\neq \cos(e^x) \end{aligned}$

So, the statement is false.

When we're guessing antiderivatives, we often need to adjust our original guesses a little. Dividing by constants works well; dividing by functions usually does not.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 4번우리말 번역

참 또는 거짓: $\dfrac{1}{x^2}$ 의 부정적분은 $\log (x^2)$ 이다 (여기서 $\log x$ 는 밑이 $e$ 인 로그를 뜻한다).

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

이런 생각이 들기 쉽다:

$\begin{aligned} \int \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x&=\log|x|+C \\ \text{ 그러니 아마 비슷하게 } \\ \int \frac{1}{x^2}\ \mathrm{d}x&\stackrel{?}{=}\log|x^2|+C=\log(x^2)+C \\ \text{ 미분하여 확인한다:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\log(x^2)\} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\log x\}=\frac{2}{x} \neq \frac{1}{x^2} \end{aligned}$ 따라서 그렇게 간단하지 않았다: 거짓이다.

부정적분을 추측할 때는 처음의 추측을 조금 고쳐야 하는 경우가 많다. 상수를 바꾸는 것은 잘 통하지만, 함수를 바꾸는 것은 대체로 통하지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리개념 확인기본자동 분류