미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 6번

CLP-2 · 1.3절 · 6번우리말 번역

$F(x) = \displaystyle\int_7^x \sin(t^2)\ \mathrm{d}t$ 라 하자. $x$ 에 대한 $F(x)$ 의 순간변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $F(x) = \displaystyle\int_7^x \sin(t^2)\ \mathrm{d}t$ . What is the instantaneous rate of change of $F(x)$ with respect to $x$ ?

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정답·풀이 보기

“ $x$ 에 대한 $F(x)$ 의 순간변화율”은 “ $F'(x)$ ”를 달리 표현한 말이다. 미적분학의 기본정리 제1부에 의해 이 값은 $\sin (x^2)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

“The instantaneous rate of change of $F(x)$ with respect to $x$ " is another way of saying “ $F'(x)$ ". From the Fundamental Theorem of Calculus Part 1, we know this is $\sin (x^2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 4.4절 · 13번우리말 번역

항공기가 가능한 한 빠르게 상승하려고 할 때, 높은 고도일수록 공기가 희박하기 때문에 상승률(단위: 피트/분)은 고도가 높아짐에 따라 감소합니다. 아래는 어떤 단발 엔진 항공기의 성능 자료를 나타낸 표로, 여러 고도에서의 상승률을 보여 줍니다. 여기서 $c(h)$ 는 고도 $h$ 에서의 비행기의 상승률을 나타냅니다.

$h$ (피트)	$0$	$1000$	$2000$	$3000$	$4000$	$5000$	$6000$	$7000$	$8000$	$9000$	$10{,}000$
$c$ (피트/분)	$925$	$875$	$830$	$780$	$730$	$685$	$635$	$585$	$535$	$490$	$440$

고도 $h$ 에 있는 비행기가 다음 1피트를 더 상승하는 데 필요한 시간(분)을 나타내는 새로운 함수 $m(h)$ 를 생각하세요.

(a) $m(h)$ 에 대한 비슷한 값의 표를 만들고, 이 표가 위의 표와 어떤 관계가 있는지 설명하세요. 단위도 반드시 설명하세요. (b) 도함수가 $m(h)$ 인 함수를 정확하게 해석하세요. 입력은 무엇이고 출력은 무엇인지 설명하세요. 또한 이 함수가 우리에게 알려 주는 것이 무엇인지 쉬운 말로 설명하세요. (c) 그 값이 비행기가 고도 10,000피트까지 상승하는 데 필요한 시간(분)을 정확히 알려 주는 정적분을 구하세요. 이 정적분의 값이 왜 그러한 의미를 갖는지 분명하게 설명하세요. (d) 리만 합 $M_5$ 를 이용하여 (c)에서 구한 정적분의 값을 어림하세요. 결과에 단위를 포함하세요.

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(a) 주어진 상승률 $c(h)$ 의 단위는 피트/분이고, 새 함수 $m(h)$ 의 단위는 분/피트이므로 $m(h)$ 는 $c(h)$ 의 역수이다. 즉 $m(h) = \frac{1}{c(h)}$ 이다. 따라서 다음과 같이 보완된 표를 얻는다.

$h$ (피트)	$0$	$1000$	$2000$	$3000$	$4000$	$5000$	$6000$	$7000$	$8000$	$9000$	$10{,}000$
$c$ (피트/분)	$925$	$875$	$830$	$780$	$730$	$685$	$635$	$585$	$535$	$490$	$440$
$m$ (분/피트)	$\frac{1}{925}$	$\frac{1}{875}$	$\frac{1}{830}$	$\frac{1}{780}$	$\frac{1}{730}$	$\frac{1}{685}$	$\frac{1}{635}$	$\frac{1}{585}$	$\frac{1}{535}$	$\frac{1}{490}$	$\frac{1}{440}$
(b) 어떤 함수가 주어졌을 때, 그 도함수의 단위는 “입력 단위당 출력 단위”임을 알고 있다. $m(h)$ 의 단위가 “분/피트”이고 입력 단위가 “피트”이므로, $m(h)$ 의 원시함수의 출력 단위는 “분”이어야 한다. 따라서 이 원시함수는 비행기가 $h$ 피트의 고도까지 상승하는 데 걸리는 총 시간(분)을 알려 준다.
(c) 비행기가 $10{,}000$ 피트의 고도까지 상승하는 데 필요한 시간(분)은 다음 정적분으로 주어진다.
$M = \int_{0}^{10000} m(h) \, dh$
이는 $m(h)$ 의 단위가 “분/피트”이고 대응하는 리만 합에서 $\triangle h$ 의 단위가 “피트”이므로, 이 단위를 가진 양들의 곱은 분 단위로 측정되는 수치가 되기 때문이다.
(d) 리만 합 $M_5$ 에서는 부분구간이 $5$ 개이다. 주어진 자료에서 이는 알려진 자료점을 하나씩 건너뛰며 함수의 값을 구해야 한다는 뜻이다. 구체적으로,
$\begin{aligned}\int_{0}^{10000} m(h) \, dh &\approx M_5 \\ &= m(1000) \cdot 2000 + m(3000) \cdot 2000 + m(5000) \cdot 2000 \\ &+ m(7000) \cdot 2000 + m(9000) \cdot 2000 \\ &= \left( \frac{1}{875} + \frac{1}{780} + \frac{1}{685} + \frac{1}{585} + \frac{1}{490} \right) \cdot 2000 \\ &\approx 0.007634980475 \cdot 2000 \\ &\approx 15.27\end{aligned}\,.$ 따라서 비행기가 10,000피트의 고도까지 상승하는 데 $15$ 분보다 조금 더 걸린다.

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리계산기본자동 분류