미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 8번

CLP-2 · 1.3절 · 8번우리말 번역

$F'(x)=f(x)$ 라 하자. $f(x)$ 의 서로 다른 부정적분 두 개를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $F'(x)=f(x)$ . Give two different antiderivatives of $f(x)$ .

정답·풀이 보기

임의의 상수 $C$ 에 대해 $F(x)+C$ 는 $f(x)$ 의 부정적분이다. 왜냐하면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{F(x)+C\} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{F(x)\} = f(x)$ 이기 때문이다. 따라서 예를 들어 $F(x)$ 와 $F(x)+1$ 은 모두 $f(x)$ 의 부정적분이다.

원본 교재 풀이(영어)

For any constant $C$ , $F(x)+C$ is an antiderivative of $f(x)$ , because $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{F(x)+C\} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{F(x)\} = f(x)$ . So, for example, $F(x)$ and $F(x)+1$ are both antiderivatives of $f(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 5.4절 · 30번우리말 번역

모든 $a$ 의 값에 대해 $\displaystyle \int_{a}^{a+2\pi} \sin t\ dt = 0$ 인 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\int_{a}^{a+2\pi} \sin t\ dt = \cos(a+2\pi)-\cos(a)$ 이다. 코사인 함수는 주기가 $2\pi$ 인 주기함수이므로 $\cos(a+2\pi) = \cos(a)$ 이고, 따라서 적분값은 0이다.

이 문제로 이어서 풀기

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