미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 10번

CLP-2 · 1.3절 · 10번우리말 번역

미적분학의 기본정리 제2부를 이용하여 다음 적분의 값을 구하거나, 적용할 수 없는 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \ \mathrm{d}x$ . (b) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \ \mathrm{d}x$ . (c) $\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\ \mathrm{d}x$ .

영어 원문 보기

Evaluate the following integrals using the Fundamental Theorem of Calculus Part 2, or explain why it does not apply.

(a) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \ \mathrm{d}x$ . (b) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \ \mathrm{d}x$ . (c) $\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\ \mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) $\cos x$ 의 부정적분은 $\sin x$ 이고, $\cos x$ 는 모든 곳에서 연속이므로 $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \ \mathrm{d}x = \sin(\pi)-\sin(-\pi) = 0$ . (b) $\sec^2 x$ 는 $x=\pm\frac{\pi}{2}$ 에서 불연속이므로, $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \ \mathrm{d}x$ 에는 미적분학의 기본정리 제2부를 적용할 수 없다. (c) $\frac{1}{x+1}$ 은 $x=-1$ 에서 불연속이므로, $\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\ \mathrm{d}x$ 에는 미적분학의 기본정리 제2부를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The antiderivative of $\cos x$ is $\sin x$ , and $\cos x$ is continuous everywhere, so $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \ \mathrm{d}x = \sin(\pi)-\sin(-\pi) = 0$ . (b) Since $\sec^2 x$ is discontinuous at $x=\pm\frac{\pi}{2}$ , the Fundamental Theorem of Calculus Part 2 does not apply to $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \ \mathrm{d}x$ . (c) Since $\frac{1}{x+1}$ is discontinuous at $x=-1$ , the Fundamental Theorem of Calculus Part 2 does not apply to $\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\ \mathrm{d}x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 5번우리말 번역

참 또는 거짓: $\cos(e^x)$ 의 부정적분은 $\frac{\sin(e^x)}{e^x}$ 이다.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

이렇게 해 보고 싶어진다:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} &= e^x\cos(e^x) \\ \text{그러므로 아마도} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sin(e^x)}{e^x}\right\} &\stackrel{?}{=} \cos(e^x) \\ \text{미분하여 확인한다:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sin(e^x)}{e^x}\right\} &=\frac{e^x\left(\cos(e^x)\cdot e^x\right)-\sin(e^x)e^x}{e^{2x}} &\text{(몫의 미분법)}\\ & = \cos (e^x) - \frac{\sin(e^x)}{e^x}\\ &\neq \cos(e^x) \end{aligned}$

따라서 주어진 명제는 거짓이다.

부정적분을 추측할 때에는 처음 추측을 조금 고쳐야 하는 경우가 많다. 상수로 나누는 것은 대체로 잘 되지만, 함수로 나누는 것은 대체로 잘 되지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리계산기본자동 분류