미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 22번

CLP-2 · 1.3절 · 22번우리말 번역

$\displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x$ .

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

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피적분함수는 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 과 비슷한데, 이는 아크탄젠트의 도함수이다. 실제로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned}\displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{1}{1+(5x)^2}\mathrm{d}x. \\ \text{ 따라서 부정적분을 처음에는 다음과 같이 추측해 볼 수 있다. } \\ F(x) &\stackrel{?}{=} \arctan(5x). \\ \text{ 그런데 연쇄법칙 때문에 } \\ F'(x) &= \dfrac{5}{1+(5x)^2}. \\ \text{ 분자를 ``고치기" 위해 두 번째로 추측한다: } \\ F(x) &= \frac{1}{5}\arctan(5x)\\ F'(x) &= \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{1+(5x)^2}\right) = \dfrac{1}{1+25x^2}\\ \text{따라서,}\qquad \displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x&=\frac{1}{5}\arctan(5x)+C. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is similar to $\dfrac{1}{1+x^2}$ , which is the derivative of arctangent. Indeed, we have

$\begin{aligned}\displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{1}{1+(5x)^2}\mathrm{d}x. \\ \text{ So, a reasonable first guess for the antiderivative might be } \\ F(x) &\stackrel{?}{=} \arctan(5x). \\ \text{ However, because of the chain rule, } \\ F'(x) &= \dfrac{5}{1+(5x)^2}. \\ \text{ In order to ``fix" the numerator, we make a second guess: } \\ F(x) &= \frac{1}{5}\arctan(5x)\\ F'(x) &= \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{1+(5x)^2}\right) = \dfrac{1}{1+25x^2}\\ \text{So,}\qquad \displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x&=\frac{1}{5}\arctan(5x)+C. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 20번우리말 번역

$\displaystyle\int_0^2 \big(x^3+\sin x)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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미적분학의 기본정리에 의해

$\begin{aligned} \int_0^2 \big(x^3+\sin x)\,\mathrm{d}x &=\left[\frac{x^4}{4}-\cos x\right]_0^2\\ &=\left(\frac{2^4}{4}-\cos 2\right)-\left(0 -\cos 0\right) \\ &= 4-\cos2+1=5-\cos2. \end{aligned}$

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