미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 27번

CLP-2 · 1.3절 · 27번우리말 번역

만약

$F(x)=\int_0^x \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t\quad\text{그리고}\quad G(y)=\int^0_y \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t$

이면, $F'\big(\frac{\pi}{2}\big)$ 와 $G'\big(\frac{\pi}{2}\big)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

$F(x)=\int_0^x \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t\quad\text{and}\quad G(y)=\int^0_y \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t$

find $F'\big(\frac{\pi}{2}\big)$ and $G'\big(\frac{\pi}{2}\big)$ .

정답·풀이 보기

미적분의 기본정리 제1부에 의해,

$\begin{aligned} F'(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t &&=\log(2+\sin x) \\ G'(y)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigg[- \int_0^y \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t\bigg] &&=-\log(2+\sin y) \\ \end{aligned}$

따라서,

$F'\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=\log 3\qquad G'\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=-\log(3)$

원본 교재 풀이(영어)

By the Fundamental Theorem of Calculus Part 1,

So,

$F'\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=\log 3\qquad G'\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=-\log(3)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 26번우리말 번역

$\displaystyle\int \cos^2 x \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

어떤 함수의 도함수가 $\cos^2 x$ 인지는 바로 알기 어렵지만, 항등식 $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ 를 이용하면 상황을 조금 더 분명하게 할 수 있다:

$\begin{aligned} \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\int \frac{1}{2}\cdot \left(1+\cos(2x)\right)\ \mathrm{d}x\\ &=\int \frac{1}{2}\ \mathrm{d}x + \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}x + C+ \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x \\ \text{나머지 적분에 대해서는 $F(x) = \sin(2x)$ 와 같은 꼴을 짐작해 볼 수 있다. 알맞은 상수를 찾아보자:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sin(2x) \right\}&=2\cos(2x)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{4}\sin(2x) \right\}&=\frac{1}{2}\cos(2x)\\ \text{따라서,}\qquad \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x &=\frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \text{그러므로,}\qquad \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류