미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 34번

CLP-2 · 1.3절 · 34번우리말 번역

$x^2=1+\displaystyle\int_1^x f(t)\ \mathrm{d}t$ 일 때, $f(x)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find $f(x)$ if $x^2=1+\displaystyle\int_1^x f(t)\ \mathrm{d}t$ .

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정답·풀이 보기

$x^2=1+\int_1^x f(t)\ \mathrm{d}t$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 를 적용하면, 미적분의 기본정리 제1부에 의해 $2x=f(x)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Applying $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ to both sides of $x^2=1+\int_1^x f(t)\ \mathrm{d}t$ gives, by the Fundamental Theorem of Calculus Part 1, $2x=f(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 35번우리말 번역

$f$ 가 연속함수이고 $x \sin(\pi x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ 일 때, $f(4)$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x \sin(\pi x) = \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 를 적용한다. 그러면 미적분의 기본정리 제1부에 의해

$\begin{aligned} &&f(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big\{x \sin(\pi x)\big\} \\ \implies&& f(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big\{x \sin(\pi x)\big\} =\sin(\pi x)+\pi x\cos(\pi x) \\ \implies&& f(4)&= \sin(4\pi)+4\pi\cos(4\pi)=4\pi \end{aligned}$

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