치환적분법 연습문제 — CLP-2 · 1.4절 · 2번

CLP-2 · 1.4절 · 2번우리말 번역

다음 추론은 타당한가요? 타당하지 않다면 바로잡으세요.

문제: $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 치환 $u=2x+1$ 을 사용한다. 그러면:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{3}u^3+C\\ &=\frac{1}{3}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

영어 원문 보기

Is the following reasoning sound? If not, fix it.

Problem: Evaluate $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ .

Work: We use the substitution $u=2x+1$ . Then:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{3}u^3+C\\ &=\frac{1}{3}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

정답·풀이 보기

이 추론은 타당하지 않다. 치환을 할 때에는 미분 요소( $\mathrm{d}x$ )를 처리해야 한다. 치환적분법은 연쇄 법칙에서 나온 것임을 기억하자. 즉, 함수와 그 도함수가 함께 있어야 한다. 다음과 같이 하면 된다:

문제: $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 치환 $u=2x+1$ 을 사용한다. 그러면 $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$ 이므로 $\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ 이다:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{6}u^3+C\\ &=\frac{1}{6}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The reasoning is not sound: when we do a substitution, we need to take care of the differential ( $\mathrm{d}x$ ). Remember the method of substitution comes from the chain rule: there should be a function and its derivative. Here's the way to do it:

Problem: Evaluate $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ .

Work: We use the substitution $u=2x+1$ . Then $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$ , so $\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ :

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{6}u^3+C\\ &=\frac{1}{6}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.4절 · 6번우리말 번역

$f$ 와 $g$ 가 모든 곳에서 연속이고 미분가능한 함수라 하자. $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))$ 를 간단히 하세요.

다 풀었으면 정답 확인

연쇄 법칙을 이용하면 다음을 알 수 있다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(g(x))\}=f'(g(x))g'(x)$ 따라서 $f(g(x))$ 는 $f'(g(x))g'(x)$ 의 부정적분이다. $f'(g(x))g'(x)$ 의 모든 부정적분은 상수만큼만 차이가 나므로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} \int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))&= f(g(x))+C-f(g(x))\\ &=C \end{aligned}$

즉, 주어진 식은 어떤 상수 $C$ 로 간단히 된다.

참고: $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t - f(g(x))=C$ 이므로 다음과 같이 결론짓는다. $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t = f(g(x))+C$ 이것이 바로 적분에서 치환을 하는 방법이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 치환적분법계산기본자동 분류