치환적분법 연습문제 — CLP-2 · 1.4절 · 6번

CLP-2 · 1.4절 · 6번우리말 번역

$f$ 와 $g$ 가 모든 곳에서 연속이고 미분가능한 함수라 하자. $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))$ 를 간단히 하세요.

영어 원문 보기

Let $f$ and $g$ be functions that are continuous and differentiable everywhere. Simplify $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x)).$

정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 이용하면 다음을 알 수 있다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(g(x))\}=f'(g(x))g'(x)$ 따라서 $f(g(x))$ 는 $f'(g(x))g'(x)$ 의 부정적분이다. $f'(g(x))g'(x)$ 의 모든 부정적분은 상수만큼만 차이가 나므로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} \int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))&= f(g(x))+C-f(g(x))\\ &=C \end{aligned}$

즉, 주어진 식은 어떤 상수 $C$ 로 간단히 된다.

참고: $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t - f(g(x))=C$ 이므로 다음과 같이 결론짓는다. $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t = f(g(x))+C$ 이것이 바로 적분에서 치환을 하는 방법이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the chain rule, we see that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(g(x))\}=f'(g(x))g'(x)$ So, $f(g(x))$ is an antiderivative of $f'(g(x))g'(x)$ . All antiderivatives of $f'(g(x))g'(x)$ differ by only a constant, so:

$\begin{aligned} \int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))&= f(g(x))+C-f(g(x))\\ &=C \end{aligned}$

That is, our expression simplifies to some constant $C$ .

Remark: since $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t - f(g(x))=C$ we conclude $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t = f(g(x))+C$ which is precisely how we perform substitution on integrals.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.4절 · 7번우리말 번역

치환을 이용하여 $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos (e^{x^2}) \,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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$u(x) = e^{x^2}$ 이라 하면 $\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x=2x e^{x^2}\mathrm{d}x$ 이다. $x=1$ 일 때 $u(1)=e^{1^2}=e$ 이고, $x=0$ 일 때 $u(0)=e^{0^2}=1$ 임에 주의한다. 따라서 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos ( e^{x^2}) \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2}\int_{x=0}^{x=1} \cos ( u(x)) u'(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int_{u=1}^{u=e} \cos({red}u)\,\mathrm{d}u\\ &= \frac{1}{2}\bigg[\sin(u) \bigg]_1^e = \frac{1}{2}\big( \sin(e) - \sin(1) \big). \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 치환적분법계산기본자동 분류