치환적분법 연습문제 — CLP-2 · 1.4절 · 8번

CLP-2 · 1.4절 · 8번우리말 번역

$f(t)$ 를 $\displaystyle\int_1^8 f(t)\,\mathrm{d}t=1$ 을 만족시키는 임의의 함수라 하자. 적분 $\displaystyle\int_1^2 x^2 f(x^3)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(t)$ be any function for which $\displaystyle\int_1^8 f(t)\,\mathrm{d}t=1$ . Calculate the integral $\displaystyle\int_1^2 x^2 f(x^3)\,\mathrm{d}x$ .

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정답·풀이 보기

$y=x^3$ , $\mathrm{d}y=3x^2\ \mathrm{d}x$ 로 치환하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_1^2 x^2 f( x^3)\, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int_1^8 f( y)\, \mathrm{d}y =\frac{1}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Substituting $y=x^3$ , $\mathrm{d}y=3x^2\ \mathrm{d}x$ :

$\begin{aligned} \int_1^2 x^2 f( x^3)\, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int_1^8 f( y)\, \mathrm{d}y =\frac{1}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.4절 · 9번우리말 번역

$\displaystyle \int \frac{x^2}{{(x^3+1)}^{101}}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$u=x^3+1$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = 3x^2\,\mathrm{d}x$ 이므로

$\begin{aligned} \int \frac{ x^2\,\mathrm{d}x}{{( x^3+1)}^{101}} &= \int \frac{ \mathrm{d}u/3}{ u^{101}}\\ &=\frac{1}{3}\int u^{-101}\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{3}\cdot\dfrac{u^{-100}}{-100}\\ &= -\frac{1}{3\times 100 u^{100}} + C\\ &=-\frac{1}{300{(x^3+1)}^{100}} + C \end{aligned}$

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