치환적분법

(a) 다음 그래프에서, 이 모델은 주기적이며 $24$시간마다 반복되는 것으로 보이고, 소비율이 사람들이 집에서 가장 활발하게 활동하는 시간대인 오전 $7$시 무렵과 오후 $5$시 무렵에 최대가 되는 것으로 보이므로 타당함을 알 수 있다. (b) $\int_0^{24} r(t) \, dt$ 의 의미는 $24$시간 동안 소비된 전력의 총량이며, 단위는 메가와트시이다. 이는 $r(t)$ 의 단위가 메가와트이고 $\triangle t$ 의 단위가 시간이므로, 정적분에 대응하는 리만 합에서 $r(t) \cdot \triangle t$ 꼴의 항이 “메가와트시”의 단위를 갖기 때문이다. 또한 전력 소비율을 적분하면 소비된 전력의 총 변화량을 얻는다. (c) 평일 하루에 매스랜드는 $\int_0^{24} r(t) \, dt$ 메가와트시의 전력을 소비하므로, 다음 적분의 값을 구해야 한다. $$\int_0^{24} r(t) \, dt = \int_0^{24} \left[ 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4) \right] \, dt\,.$$ 이를 위해 $u = 0.263t + 4.7$ ($du = 0.263 \, dt$ 이므로)과 $w = 0.526t + 9.4$ ($dw = 0.526 \, dt$ 이므로)로 치환하여 두 삼각함수 식의 부정적분을 구하면 다음과 같다. $$\int \sin(0.263t + 4.7) \, dt = \frac{1}{0.263} \int \sin(u) \, du = -\frac{1}{0.263} \cos(u) = -\frac{1}{0.263} \cos(0.263t + 4.7)$$ 그리고 $$\int \cos(0.526t + 9.4) \, dt = \frac{1}{0.526} \int \cos(w) \, dw = \frac{1}{0.526} \sin(w) = \frac{1}{0.526} \sin(0.526t + 9.4)\,.$$ 이를 모두 합하고 미적분의 기본정리를 이용하면 다음을 얻는다. $$\begin{aligned}\int_0^{24} r(t) \, dt &= \left. 4t -\frac{1}{0.263} \cos(0.263t + 4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(0.526t + 9.4) \right|_0^{24} \\ &= \left[ 4 \cdot 24 -\frac{1}{0.263} \cos(0.263 \cdot 24 + 4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(0.526 \cdot 24 + 9.4) \right] - \left[ -\frac{1}{0.263} \cos(4.7) + \frac{1}{0.526} \sin(9.4) \right] \\ &\approx 95.7809\end{aligned}$$ 메가와트시의 전력이 $24$시간 동안 사용된다. (d) 구간 $[0,24]$ 에서 비율 함수 $r$ 의 평균값은 다음과 같다. $$\displaystyle r_{\operatorname{AVG} [0,24]} = \frac{1}{24-0} \int_{0}^{24} r(t) \, dt\,.$$ 따라서 (c)의 계산에 의해 다음을 얻는다. $$\displaystyle r_{\operatorname{AVG} [0,24]} \approx \frac{1}{24} \cdot 95.7809 = 3.99087$$ 이 값의 단위는 메가와트이다.