치환적분법 연습문제 — CLP-2 · 1.4절 · 14번

CLP-2 · 1.4절 · 14번우리말 번역

$\int \frac{(x^2-4)x}{\sqrt{4-x^2}}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\int \frac{(x^2-4)x}{\sqrt{4-x^2}}\,\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

치환 $u=4-x^2$ 을 사용한다. 이때 $\mathrm{d}u=-2x\,\mathrm{d}x$ 이다.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2-4}{\sqrt{4-x^2}}\,x\,\mathrm{d}x &=\int \frac{1}{2}\cdot\frac{ 4-x^2}{\sqrt{ 4-x^2}} ({-}2x)\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2} \int \frac{{red}u}{\sqrt{{red}u}}\, \mathrm{d}u \\ &=\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,\mathrm{d}u \\ &=\frac{1}{2}\frac{u^{3/2}}{3/2}+C\\ &=\frac{1}{3}(4-x^2)^{3/2}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution $u=4-x^2$ , for which $\mathrm{d}u=-2x\,\mathrm{d}x$ :

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.4절 · 11번우리말 번역

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x} {1+\sin x}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$u=1+\sin x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = \cos x~\mathrm{d}x$ 이므로

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{ \cos x} { 1+\sin x} \mathrm{d}x = \int_{x=0}^{x=\pi/2} \frac{1}{ 1+\sin x}\, \cos x ~\mathrm{d}x = \int_{u=1}^{u=2} \frac{ \mathrm{d}u}{{red}u}$

이다. 이는 $x=0$ 일 때 $u=1+\sin 0=1$ 이고 $x=\pi/2$ 일 때 $u=1+\sin(\pi/2)=2$ 이기 때문이다. 그러면 미적분의 기본정리 제2부에 의해

$\int_{u=1}^{u=2} \frac{\mathrm{d}u}{u} = \Big[\log|u| \Big]_{1}^{2} = \log 2$

이 문제로 이어서 풀기

# 치환적분법계산보통자동 분류