넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — CLP-2 · 1.5절 · 1번

CLP-2 · 1.5절 · 1번우리말 번역

$x=0$ 에서 $x=\pi$ 까지 $y=\cos x$ 와 $y=\sin x$ 의 그래프 사이의 넓이를 직사각형 $n=4$ 개를 사용한 왼쪽 리만 합으로 어림하려고 한다.

(a) 아래 그래프에 네 개의 직사각형을 그리세요. (b) 리만 합으로 어림한 값을 계산하세요.

영어 원문 보기

We want to approximate the area between the graphs of $y=\cos x$ and $y=\sin x$ from $x=0$ to $x=\pi$ using a left Riemann sum with $n=4$ rectangles.

(a) On the graph below, sketch the four rectangles. (b) Calculate the Riemann approximation.

정답·풀이 보기

직사각형의 구간은 $[0,\frac{\pi}{4}]$ , $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$ , $[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}]$ , $[\frac{3\pi}{4},\pi]$ 이다. 왼쪽 리만 합을 구하므로 각 구간의 왼쪽 끝점에서 직사각형의 높이를 구한다.

$x = 0$ : $\cos 0$ 에서 $\sin 0$ 까지의 거리는 1이므로 첫 번째 직사각형의 높이는 1이다.
$x = \frac{\pi}{4}$ : $\cos \frac{\pi}{4}$ 에서 $\sin \frac{\pi}{4}$ 까지의 거리는 0이므로 두 번째 직사각형의 높이는 0이다.
$x = \frac{\pi}{2}$ : $\cos \frac{\pi}{2}$ 에서 $\sin \frac{\pi}{2}$ 까지의 거리는 1이므로 세 번째 직사각형의 높이는 1이다.
$x = \frac{3\pi}{4}$ : $\cos \frac{3\pi}{4}$ 에서 $\sin \frac{3\pi}{4}$ 까지의 거리는 $\sin(3\pi/4)-\cos(3\pi/4) =\frac{1}{\sqrt{2}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}$ 이므로 네 번째 직사각형의 높이는 $\sqrt{2}$ 이다.

따라서 두 곡선 사이의 넓이의 근삿값은 $\frac{\pi}{4}\left(1+0+1+\sqrt{2}\right)=\frac{\pi}{4}\left(2+\sqrt{2}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

The intervals of our rectangles are $[0,\frac{\pi}{4}]$ , $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$ , $[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}]$ , and $[\frac{3\pi}{4},\pi]$ . Since we're taking a left Riemann sum, we find the height of the rectangles at the left endpoints of the intervals.

$x = 0$ : The distance from $\cos 0$ to $\sin 0$ is 1, so our first rectangle has height 1.
$x = \frac{\pi}{4}$ : The distance from $\cos \frac{\pi}{4}$ to $\sin \frac{\pi}{4}$ is 0, so our second rectangle has height 0.
$x = \frac{\pi}{2}$ : The distance from $\cos \frac{\pi}{2}$ to $\sin \frac{\pi}{2}$ is 1, so our third rectangle has height 1.
$x = \frac{3\pi}{4}$ : The distance from $\cos \frac{3\pi}{4}$ to $\sin \frac{3\pi}{4}$ is $\sin(3\pi/4)-\cos(3\pi/4) =\frac{1}{\sqrt{2}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}$ , so our fourth rectangle has height $\sqrt{2}$ .

So, our approximation for the area between the two curves is $\frac{\pi}{4}\left(1+0+1+\sqrt{2}\right)=\frac{\pi}{4}\left(2+\sqrt{2}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.1절 · 1번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 그림에서 두 곡선 사이의 영역의 넓이를 $x\text{축}$ 을 따라 적분하여 구하세요.

$y={x}^{2}-3\,\text{그리고}\,y=1$

이 그림에는 두 개의 그래프가 있다. 두 그래프는 함수 f(x) = x^2-3 과 g(x)=1 이다. 이 그래프들 사이에 색칠된 영역이 있으며, 이 영역은 위쪽은 g(x), 아래쪽은 f(x)로 둘러싸여 있다. 색칠된 부분은 x=-2 와 x=2 사이에 있다.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{32}{3}$

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석기본자동 분류