넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — CLP-2 · 1.5절 · 2번

CLP-2 · 1.5절 · 2번우리말 번역

곡선 $y=\arcsin\left(\dfrac{2x}{\pi}\right)$ 와 $y=\sqrt{\dfrac{\pi x}{2}}$ 사이의 유계 영역의 넓이를 $n=5$ 개의 직사각형을 사용하여 어림하려고 합니다.

(a) 아래 그림에 오른쪽 리만 합에 해당하는 (세로) 직사각형 다섯 개를 그리세요. (b) 가로 직사각형을 사용한다면 쓸 수 있는 직사각형 다섯 개를 아래 그림에 그리세요.

영어 원문 보기

We want to approximate the bounded area between the curves $y=\arcsin\left(\dfrac{2x}{\pi}\right)$ and $y=\sqrt{\dfrac{\pi x}{2}}$ using $n=5$ rectangles.

(a) Draw the five (vertical) rectangles on the picture below corresponding to a right Riemann sum. (b) Draw five rectangles on the picture below we might use if we were using horizontal rectangles.

정답·풀이 보기

(a) $x=0$ 에서 $x=\frac{\pi}{2}$ 까지의 구간에서 넓이를 구하고 있다. $n=5$ 개의 직사각형을 사용하므로 직사각형은 다음 구간들을 덮는다. $\left[0,\frac{\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{3\pi}{10},\frac{2\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{2\pi}{5},\frac{\pi}{2}\right].$

(b) $y=0$ 에서 $y=\frac{\pi}{2}$ 까지의 구간에서 넓이를 구하고 있다. (일반적으로 가로 직사각형에서 세로 직사각형으로 바꾸면 적분 구간의 끝점이 달라진다. 이 예에서 같은 것은 우연일 뿐이다.) $n=5$ 개의 직사각형을 사용하므로 이 직사각형들은 $y$ 축의 다음 구간들을 덮는다. $\left[0,\frac{\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{3\pi}{10},\frac{2\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{2\pi}{5},\frac{\pi}{2}\right].$

문제에서 어느 쪽 끝점을 사용할지 정하지 않았다. (a)와 맞추어 위쪽 끝점을 사용하자.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are finding the area in the interval from $x=0$ to $x=\frac{\pi}{2}$ . Since we're taking $n=5$ rectangles, our rectangles cover the following intervals: $\left[0,\frac{\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{3\pi}{10},\frac{2\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{2\pi}{5},\frac{\pi}{2}\right].$

(b) We are finding the area in the interval from $y=0$ to $y=\frac{\pi}{2}$ . (In general, when we switch from horizontal rectangles to vertical, the limits of integration will change–it's only coincidence that they are the same in this example.) Since we're taking $n=5$ rectangles, these rectangles cover the following intervals of the $y$ -axis: $\left[0,\frac{\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{3\pi}{10},\frac{2\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{2\pi}{5},\frac{\pi}{2}\right].$

The question doesn't specify which endpoints we're using. Let's use upper endpoints, to match part (a).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.5절 · 1번우리말 번역

$x=0$ 에서 $x=\pi$ 까지 $y=\cos x$ 와 $y=\sin x$ 의 그래프 사이의 넓이를 직사각형 $n=4$ 개를 사용한 왼쪽 리만 합으로 어림하려고 한다.

(a) 아래 그래프에 네 개의 직사각형을 그리세요. (b) 리만 합으로 어림한 값을 계산하세요.

다 풀었으면 정답 확인

직사각형의 구간은 $[0,\frac{\pi}{4}]$ , $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$ , $[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}]$ , $[\frac{3\pi}{4},\pi]$ 이다. 왼쪽 리만 합을 구하므로 각 구간의 왼쪽 끝점에서 직사각형의 높이를 구한다.

$x = 0$ : $\cos 0$ 에서 $\sin 0$ 까지의 거리는 1이므로 첫 번째 직사각형의 높이는 1이다.
$x = \frac{\pi}{4}$ : $\cos \frac{\pi}{4}$ 에서 $\sin \frac{\pi}{4}$ 까지의 거리는 0이므로 두 번째 직사각형의 높이는 0이다.
$x = \frac{\pi}{2}$ : $\cos \frac{\pi}{2}$ 에서 $\sin \frac{\pi}{2}$ 까지의 거리는 1이므로 세 번째 직사각형의 높이는 1이다.
$x = \frac{3\pi}{4}$ : $\cos \frac{3\pi}{4}$ 에서 $\sin \frac{3\pi}{4}$ 까지의 거리는 $\sin(3\pi/4)-\cos(3\pi/4) =\frac{1}{\sqrt{2}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}$ 이므로 네 번째 직사각형의 높이는 $\sqrt{2}$ 이다.

따라서 두 곡선 사이의 넓이의 근삿값은 $\frac{\pi}{4}\left(1+0+1+\sqrt{2}\right)=\frac{\pi}{4}\left(2+\sqrt{2}\right)$

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석기본자동 분류