넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — CLP-2 · 1.5절 · 4번

CLP-2 · 1.5절 · 4번우리말 번역

직선 $y=-\dfrac{x}{2}$ 와 포물선 $y^2=6-\dfrac{5x}{4}$ 로 유계인 유한한 영역의 넓이를 나타내는 정적분을 쓰세요. 적분을 직접 계산하지 마세요.

영어 원문 보기

Write down a definite integral that represents the area of the finite region bounded by the line $y=-\dfrac{x}{2}$ and the parabola $y^2=6-\dfrac{5x}{4}$ . Do not evaluate the integral explicitly.

정답·풀이 보기

두 곡선이 만나는 점을 구해야 한다.

$\begin{aligned} \frac{x^2}{4}=y^2&=6-\dfrac{5x}{4}\\ \frac{1}{4}x^2+\frac{5}{4}x-6&=0\\ x^2+5x-24&=0\\ (x+8)(x-3)&=0\\ x=-8,\quad x&=3 \end{aligned}$

두 곡선은 $(-8,4)$ 와 $(3,-\frac{3}{2})$ 에서 만난다. 수평 띠를 이용하면:

다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \text{Area} = \int_{-3/2}^{4}\Big[\frac{4}{5}(6-y^2)+2y\Big]\ \mathrm{d}y \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We need to find where the curves intersect.

$\begin{aligned} \frac{x^2}{4}=y^2&=6-\dfrac{5x}{4}\\ \frac{1}{4}x^2+\frac{5}{4}x-6&=0\\ x^2+5x-24&=0\\ (x+8)(x-3)&=0\\ x=-8,\quad x&=3 \end{aligned}$

The curves intersect at $(-8,4)$ and $(3,-\frac{3}{2})$ . Using horizontal strips:

we have

$\begin{aligned} \text{Area} = \int_{-3/2}^{4}\Big[\frac{4}{5}(6-y^2)+2y\Big]\ \mathrm{d}y \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.5절 · 13번우리말 번역

$y=\sqrt{9-x^2}$ 의 아래쪽에 있고, $y=|x|$ 와 $y=\sqrt{1-x^2}$ 의 위쪽에 모두 있는 유한한 영역의 넓이를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

먼저 영역을 그려 보자. $y=\sqrt{1-x^2}$ 과 $y=\sqrt{9-x^2}$ 은 각각 원점을 중심으로 하고 반지름이 1, 3 인 원의 위쪽 절반임에 주의하자.

이 영역은 두 사분원의 차이므로, 기하를 이용해 넓이를 구한다. $\text{Area}=\frac{1}{4}\left(\pi\cdot 3^2\right)-\frac{1}{4}\left(\pi\cdot 1^2\right)=2\pi$

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)활용기본자동 분류