넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — CLP-2 · 1.5절 · 5번

CLP-2 · 1.5절 · 5번우리말 번역

$y^2=4ax$ 와 $x^2=4ay$ 로 유계인 유한한 평면 영역의 넓이를 나타내는 정적분을 쓰세요. 단, $a>0$ 은 상수입니다. 정적분의 값을 직접 계산하지 마세요.

영어 원문 보기

Write down a definite integral that represents the area of the finite plane region bounded by $y^2=4ax$ and $x^2=4ay$ , where $a>0$ is a constant. Do not evaluate the integral explicitly.

정답·풀이 보기

두 곡선이 $(x,y)$ 에서 만나면

$\begin{aligned} \left(x^2\right)^2&=\left(4a\right)^2y^2 = (4a)^24ax\\ x^4&=(4a)^3 x\\ x^4&-(4a)^3x=0\\ x(&x^3-(4a)^3)=0\\ x&= 0 \quad\text{또는}\quad x^3=(4a)^3 \end{aligned}$

이다. 두 곡선은 $(0,0)$ 과 $(4a,4a)$ 에서 만난다. (이 점들은 관찰만으로도 구할 수 있다.) 수직 띠를 사용하면 다음과 같다.

각 함수의 $y$ 값이 필요하다. 위쪽 함수는 $y =\sqrt{4ax}$ 로 쓰고(음의 제곱근이 아니라 양의 제곱근을 택한다), 아래쪽 함수는 $y=\frac{x^2}{4a}$ 로 쓴다. 그러면

$\begin{aligned} \text{넓이} = \int_0^{4a}\left[\sqrt{4ax}-\frac{x^2}{4a}\right]\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

If the curves intersect at $(x,y)$ , then

$\begin{aligned} \left(x^2\right)^2&=\left(4a\right)^2y^2 = (4a)^24ax\\ x^4&=(4a)^3 x\\ x^4&-(4a)^3x=0\\ x(&x^3-(4a)^3)=0\\ x&= 0 \quad\text{or}\quad x^3=(4a)^3 \end{aligned}$

The curves intersect at $(0,0)$ and $(4a,4a)$ . (It is also possible to find these points by inspection.) Using vertical strips:

We want the $y$ -values of the functions. We write the top function as $y =\sqrt{4ax}$ (we care about the positive square root, not the negative one) and we write the bottom function as $y=\frac{x^2}{4a}$ . Then we have

$\begin{aligned} \text{Area} = \int_0^{4a}\left[\sqrt{4ax}-\frac{x^2}{4a}\right]\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.1절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고, 곡선 사이 영역의 넓이에 해당하는 부분에 색칠하세요. $x\text{축}$ 방향으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y={e}^{x},y={e}^{-x},x=-1\,\text{그리고}\,x=1$

다 풀었으면 정답 확인

이 그림에는 그래프가 두 개 있다. 두 그래프는 함수 f(x)=e^x 과 g(x)=e^-x 이다. 색칠된 영역이 두 개 있다. 제2사분면의 영역은 x=-1, 위쪽의 g(x), 아래쪽의 f(x)로 유계이다. 두 번째 영역은 제1사분면에 있으며, 위쪽의 f(x), 아래쪽의 g(x), 그리고 x=1로 유계이다.

$\frac{2{(e-1)}^{2}}{e}$

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)활용기본자동 분류