넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — OpenStax 1권 · 6.1절 · 11번

OpenStax 1권 · 6.1절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고, 곡선 사이 영역의 넓이에 해당하는 부분에 색칠하세요. $x\text{축}$ 방향으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y={e}^{x},y={e}^{-x},x=-1\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the $x\text{-axis}.$

$y={e}^{x},y={e}^{-x},x=-1\,\text{and}\,x=1$

정답·풀이 보기

이 그림에는 그래프가 두 개 있다. 두 그래프는 함수 f(x)=e^x 과 g(x)=e^-x 이다. 색칠된 영역이 두 개 있다. 제2사분면의 영역은 x=-1, 위쪽의 g(x), 아래쪽의 f(x)로 유계이다. 두 번째 영역은 제1사분면에 있으며, 위쪽의 f(x), 아래쪽의 g(x), 그리고 x=1로 유계이다.

$\frac{2{(e-1)}^{2}}{e}$

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the functions f(x)=e^x and g(x)=e^-x. There are two shaded regions. In the second quadrant the region is bounded by x=-1, g(x) above and f(x) below. The second region is in the first quadrant and is bounded by f(x) above, g(x) below, and x=1.

$\frac{2{(e-1)}^{2}}{e}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.5절 · 12번우리말 번역

$y$ 축의 왼쪽이고 곡선 $x=y^2+y$ 의 오른쪽에 있는 영역의 넓이를 구하세요.

답 쓰고 채점

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먼저 곡선 $x=y^2+y=y(y+1)$ 의 모양을 알아보자.

곡선은 $y=0$ 일 때와 $y=-1$ 일 때 $y$ 축과 만난다.
곡선의 $x$ 값은 $-1<y<0$ 일 때 음수이고, 그 밖에서는 양수이다.

이로부터 아래 그림을 얻는다. 우리는 $y=-1$ 에서 $y=0$ 까지의 넓이를 구한다. 이 구간에서 $y^2+y$ 가 음수이므로 (가로) 띠의 길이는 $0-(y^2+y)$ 이다.

$\begin{aligned} \text{Area}=\int_{-1}^0\big(0-(y^2+y)\big)\,\mathrm{d}y = -\bigg[\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}\bigg]_{-1}^0 =-\frac13+\frac12 =\frac{1}{6}\quad \smash{ ![그림](clp/clp2-quiz2M1prob2.png) } \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류