넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — CLP-2 · 1.5절 · 8번

CLP-2 · 1.5절 · 8번우리말 번역

먼저 교점을 찾은 다음 적분하여, 두 곡선 $y=x$ 와 $y=3x-x^2$ 사이에 있는 유한한 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the finite region between the curves $y=x$ and $y=3x-x^2$ , by first identifying the points of intersection and then integrating.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

두 곡선 $y=f(x)=x$ 와 $y=g(x)=3x-x^2$ 이 $(x,y)$ 에서 만난다면,

$\begin{aligned} 3x-x^2&=y=x\\ x^2-2x&=0\\ x(x-2)&=0\\ x=0 \quad &\text{또는} \quad x=2 \end{aligned}$

또한 $g(x)-f(x) = 2x-x^2 = x(2-x)$ 는 모든 $0\le x\le 2$ 에 대해 양수이다. 즉, 곡선 $y=3x-x^2$ 은 모든 $0\le x\le 2$ 에 대해 직선 $y=x$ 보다 위쪽에 있다.

따라서 다음 적분의 값을 구한다.

$\begin{aligned} \int_0^2 \big[ (3x-x^2) - x \big] \,\mathrm{d}x = \int_0^2 [2x-x^2]\,\mathrm{d}x = \bigg[x^2 - \frac{x^3}{3}\bigg]^{2}_{0} = \bigg[ 4-\frac{8}{3} \bigg] -0 = \frac{4}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

If the curves $y=f(x)=x$ and $y=g(x)=3x-x^2$ intersect at $(x,y)$ , then

$\begin{aligned} 3x-x^2&=y=x\\ x^2-2x&=0\\ x(x-2)&=0\\ x=0 \quad &\text{or} \quad x=2 \end{aligned}$

Furthermore, $g(x)-f(x) = 2x-x^2 = x(2-x)$ is positive for all $0\le x\le 2$ . That is, the curve $y=3x-x^2$ lies above the line $y=x$ for all $0\le x\le 2$ .

We therefore evaluate the integral:

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.5절 · 17번우리말 번역

$y=\sqrt{9-x^2}$ 의 아래쪽, $y=x$ 의 아래쪽, 그리고 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 의 위쪽에 있는 유한한 영역의 넓이를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

먼저 영역을 그려 보자. $y=\sqrt{9-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원의 위쪽 반원이고, $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 은 $(1,0)$ 을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 위쪽 반원이다.

$y=x$ 는 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 과 $(1,1)$ 에서 만나며, 이 점은 작은 반원의 가장 높은 점이다.

삼각형과 원의 부채꼴의 넓이는 쉽게 구할 수 있다. 이를 염두에 두고 영역을 다음과 같이 나눈다.

구하는 넓이는 $A_3-(A_1+A_2)$ 이다.
$A_1$ 은 밑변의 길이가 1이고 높이가 1인 직각삼각형의 넓이이므로 $A_1 = \frac{1}{2}$ 이다.
$A_2$ 는 반지름이 1인 원의 사분원의 넓이이므로 $A_2=\frac{\pi}{4}$ 이다.
$A_3$ 은 반지름이 3인 원의 8분의 1의 넓이이므로 $A_3 = \frac{9\pi}{8}$ 이다.

따라서 이 영역의 넓이는 $\dfrac{9\pi}{8} - \dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{8}-\dfrac{1}{2}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)활용보통자동 분류