넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — CLP-2 · 1.5절 · 17번

CLP-2 · 1.5절 · 17번우리말 번역

$y=\sqrt{9-x^2}$ 의 아래쪽, $y=x$ 의 아래쪽, 그리고 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 의 위쪽에 있는 유한한 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the finite region below $y=\sqrt{9-x^2}$ and $y=x$ , and above $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 영역을 그려 보자. $y=\sqrt{9-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원의 위쪽 반원이고, $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 은 $(1,0)$ 을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 위쪽 반원이다.

$y=x$ 는 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 과 $(1,1)$ 에서 만나며, 이 점은 작은 반원의 가장 높은 점이다.

삼각형과 원의 부채꼴의 넓이는 쉽게 구할 수 있다. 이를 염두에 두고 영역을 다음과 같이 나눈다.

구하는 넓이는 $A_3-(A_1+A_2)$ 이다.
$A_1$ 은 밑변의 길이가 1이고 높이가 1인 직각삼각형의 넓이이므로 $A_1 = \frac{1}{2}$ 이다.
$A_2$ 는 반지름이 1인 원의 사분원의 넓이이므로 $A_2=\frac{\pi}{4}$ 이다.
$A_3$ 은 반지름이 3인 원의 8분의 1의 넓이이므로 $A_3 = \frac{9\pi}{8}$ 이다.

따라서 이 영역의 넓이는 $\dfrac{9\pi}{8} - \dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{8}-\dfrac{1}{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's begin by sketching our region. Note that $y=\sqrt{9-x^2}$ is the top half of a circle centred at the origin with radius 3, while $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ is the top half of a circle of radius 1 centred at $(1,0)$ .

Note $y=x$ intersects $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ at $(1,1)$ , the highest part of the smaller half-circle.

We can easily take the area of triangles and sectors of circles. With that in mind, we cut up our region the following way:

The desired area is $A_3-(A_1+A_2)$ .
$A_1$ is the area of right a triangle with base 1 and height 1, so $A_1 = \frac{1}{2}$ .
$A_2$ is the area of a quarter circle of radius 1, so $A_2=\frac{\pi}{4}$ .
$A_3$ is the area of an eighth of a circle of radius 3, so $A_3 = \frac{9\pi}{8}$

So, the area of our region is $\dfrac{9\pi}{8} - \dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{8}-\dfrac{1}{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.5절 · 7번우리말 번역

$f (x) = \dfrac{1}{(2x-4)^2}$ 의 그래프와 $x$ 축으로 유계인 영역 중 $x = 0$ 과 $x = 1$ 사이에 있는 영역의 넓이를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

곡선 $y= \frac{1}{(2x-4)^2}$ 과 $x$ 축 사이의 넓이에서 $x$ 가 $a=0$ 부터 $b=1$ 까지 움직일 때, 이 넓이는 바로 $\frac{1}{(2x-4)^2}$ 의 $0$ 에서 $1$ 까지의 정적분과 같다.

$\begin{aligned} \text{Area}&=\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{(2x-4)^2}&u=2x-4,\quad\mathrm{d}u=2\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\int_{-4}^{-2}\frac{1}{u^2}\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\left[\frac{-1}{u}\right]_{u=-4}^{u=-2}\\ &=\frac{1}{2}\Big[\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\Big] =\frac{1}{8} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)활용도전자동 분류