넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — CLP-2 · 1.5절 · 12번

CLP-2 · 1.5절 · 12번우리말 번역

$y$ 축의 왼쪽이고 곡선 $x=y^2+y$ 의 오른쪽에 있는 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area to the left of the $y$ –axis and to the right of the curve $x=y^2+y$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 곡선 $x=y^2+y=y(y+1)$ 의 모양을 알아보자.

곡선은 $y=0$ 일 때와 $y=-1$ 일 때 $y$ 축과 만난다.
곡선의 $x$ 값은 $-1<y<0$ 일 때 음수이고, 그 밖에서는 양수이다.

이로부터 아래 그림을 얻는다. 우리는 $y=-1$ 에서 $y=0$ 까지의 넓이를 구한다. 이 구간에서 $y^2+y$ 가 음수이므로 (가로) 띠의 길이는 $0-(y^2+y)$ 이다.

$\begin{aligned} \text{Area}=\int_{-1}^0\big(0-(y^2+y)\big)\,\mathrm{d}y = -\bigg[\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}\bigg]_{-1}^0 =-\frac13+\frac12 =\frac{1}{6}\quad \smash{ ![그림](clp/clp2-quiz2M1prob2.png) } \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

First, let's figure out what our curve $x=y^2+y=y(y+1)$ looks like.

The curve intercepts the $y$ -axis when $y=0$ and $y=-1$ .
The $x$ -values of the curve are negative when $-1<y<0$ , and positive elsewhere.

This leads to the figure below. We're evaluating the area from $y=-1$ to $y=0$ . Since $y^2+y$ is negative there, the length of our (horizontal) slices are $0-(y^2+y)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.5절 · 4번우리말 번역

직선 $y=-\dfrac{x}{2}$ 와 포물선 $y^2=6-\dfrac{5x}{4}$ 로 유계인 유한한 영역의 넓이를 나타내는 정적분을 쓰세요. 적분을 직접 계산하지 마세요.

다 풀었으면 정답 확인

두 곡선이 만나는 점을 구해야 한다.

$\begin{aligned} \frac{x^2}{4}=y^2&=6-\dfrac{5x}{4}\\ \frac{1}{4}x^2+\frac{5}{4}x-6&=0\\ x^2+5x-24&=0\\ (x+8)(x-3)&=0\\ x=-8,\quad x&=3 \end{aligned}$

두 곡선은 $(-8,4)$ 와 $(3,-\frac{3}{2})$ 에서 만난다. 수평 띠를 이용하면:

다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \text{Area} = \int_{-3/2}^{4}\Big[\frac{4}{5}(6-y^2)+2y\Big]\ \mathrm{d}y \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)계산보통자동 분류