넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — CLP-2 · 1.5절 · 15번

CLP-2 · 1.5절 · 15번우리말 번역

곡선 $x=0$ , $x=3$ , $y=x+2$ , $y=x^2$ 으로 유계인 유한한 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the area of the finite region bounded by the curves $x=0$ , $x=3$ , $y=x+2$ and $y=x^2$ .

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정답·풀이 보기

먼저 영역의 개형은 다음과 같다. 개형을 그리라는 요구는 없었지만, 문제를 이해하는 데 매우 중요하다.

두 곡선 $y=x+2$ 와 $y=x^2$ 은 $(2,4)$ 에서 만난다. $0\le x\le 2$ 에서 두 곡선 사이 부분의 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_0^2 \big[x+2-x^2\big]\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{1}{2} x^2+2x-\frac{1}{3}x^3\Big]_0^2 =2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3} \end{aligned}$

$2\le x\le 3$ 에서 두 곡선 사이 부분의 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_2^3 \big[x^2-(x+2)\big]\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2} x^2-2x\Big]_2^3 =9-\frac{9}{2}-6-\frac{8}{3}+2+4=\frac{11}{6} \end{aligned}$

전체 넓이는 $\dfrac{10}{3}+\dfrac{11}{6}=\dfrac{31}{6}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, here is a sketch of the region. We are not asked for it, but it is crucial for understanding the question.

The two curves $y=x+2$ and $y=x^2$ cross at $(2,4)$ . The area of the part between them with $0\le x\le 2$ is:

$\begin{aligned} \int_0^2 \big[x+2-x^2\big]\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{1}{2} x^2+2x-\frac{1}{3}x^3\Big]_0^2 =2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3} \end{aligned}$

The area of the part between the two curves with $2\le x\le 3$ is:

$\begin{aligned} \int_2^3 \big[x^2-(x+2)\big]\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2} x^2-2x\Big]_2^3 =9-\frac{9}{2}-6-\frac{8}{3}+2+4=\frac{11}{6} \end{aligned}$

The total area is $\dfrac{10}{3}+\dfrac{11}{6}=\dfrac{31}{6}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.1절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 방정식의 그래프를 그리고 곡선 사이 영역의 넓이를 색칠하세요. $x\text{축}$ 방향으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=\cos \,x$ 와 $y={\cos }^{2}x$ , $x=[-\pi ,\pi ]$ 에서

다 풀었으면 정답 확인

이 그림에는 그래프가 두 개 있다. 함수 y=cos(x)와 y=cos^2(x)의 그래프이다. 두 그래프는 주기적이며 파동과 비슷한 모양이다. 곡선들이 서로 만나 생기는 영역이 네 개 있다. 이 영역의 넓이가 색칠되어 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)활용도전자동 분류