입체도형의 부피

(a) 영역의 모양은 위의 그림과 같다. 두 곡선의 교점은 $$1+\frac{1}{2}(x-2)^2 = \frac{1}{2}x^2\,,$$ 일 때 생기므로 $2+(x-2)^2 = x^2$ 이고, 이로부터 $2+(x^2-4x+4) = x^2$ 이므로 $4x=6$ 에서 $x = \frac{3}{2}$ 이다. 구간 $\left[0, \frac{3}{2} \right]$ 에서 $g(x) = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2 \ge \frac{1}{2}x^2 = f(x)$ 이므로, 두 곡선 사이 영역의 넓이는 $$\begin{aligned}A = &= \int_0^{1.5} 1+\frac{1}{2}(x-2)^2 - \frac{1}{2}x^2 \ dx \\ &= \int_0^{1.5} 1+\frac{1}{2}(x^2-4x+4) - \frac{1}{2}x^2 \ dx \\ &= \int_0^{1.5} 3-2x \ dx \\ &= \left(3x-x^2\right)\biggm|_{0}^{1.5} \\ &= 4.5-2.25 \\ &= 2.25\end{aligned}\,.$$ (b) (위의 그림을 바탕으로 영역 $R$ 을 $y = -1$ 을 축으로 회전시킨 회전체의 그림을 직접 그려 보아야 한다.) 두께가 $\triangle x$ 인 수직 단면으로 자르면 단면은 워셔(속이 빈 원판) 모양이 된다. $y = -1$ 을 축으로 회전시키므로 바깥쪽 반지름은 $R(x) = 2+\frac{1}{2}(x-2)^2$ 이고, 안쪽 반지름은 $1+\frac{1}{2}x^2$ 이다. 따라서 두께가 $\triangle x$ 인 대표적인 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx \pi \left( R(x)^2 - r(x)^2 \right) \triangle x = \pi\left[\left(2+\frac{1}{2}(x-2)^2\right)^2 - \left(1+\frac{1}{2}x^2\right)^2 \right] \triangle x\,.$$ 로 주어진다. 그러므로 영역 $R$ 을 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피는 $$V = \int_0^{1.5} \pi\left[\left(2+\frac{1}{2}(x-2)^2\right)^2 - \left(1+\frac{1}{2}x^2\right)^2 \right] \ dx = \frac{315}{32} \pi$$ 이다. (c) (영역 $R$ 을 $y$축을 축으로 회전시킨 회전체의 그림을 직접 그려 보아야 한다.) 수평으로 자르면 단면은 두께가 $\triangle y$ 인 원기둥 모양(원판)이 된다. $y$ 가 $f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{8} = 1.125$ 를 지나면서 원판의 반지름이 달라지므로 전체 부피를 구하려면 서로 다른 두 정적분이 필요하다. 수평으로 자르므로 $y$ 에 대해 적분하게 되고, 따라서 두 방정식을 모두 $y$ 의 함수로서 $x$ 에 대해 풀어야 한다. $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ 에서 $2(y-1) = (x-2)^2$ 이므로 $x-2 = \pm \sqrt{2(y-1)}$ 이고 따라서 $x = 2 \pm \sqrt{2(y-1)}$ 이며, 마찬가지로 $y = \frac{1}{2}x^2$ 에서 $x = \pm \sqrt{2y}$ 이다. 곡선 $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ 중에서 경계 하나를 이루는 부분은 포물선의 왼쪽 부분이므로 $x = 2 - \sqrt{2(y-1)}$ 이고, 곡선 $y = \frac{1}{2}x^2$ 중에서 다른 경계를 이루는 부분은 포물선의 오른쪽 부분이므로 $x = \sqrt{2y}$ 이다. 이 두 곡선이 원판의 반지름을 정하며($y < 1.125$ 일 때는 하나, $y > 1.125$ 일 때는 다른 하나), 영역의 가장 낮은 점은 $(0,0)$ 이고 가장 높은 점은 $(0,3)$ 이다. 따라서 영역 $R$ 을 $y$축을 축으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피를 나타내는 적분의 합은 $$V = \int_{0}^{1.125} \pi \left(\sqrt{2y}\right)^2 \ dy + \int_{1.125}^3 \pi \left(2 - \sqrt{2(y-1)}\right)^2 \ dy \approx 7.06858347$$ 이다. (d) 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 로 정의된 곡선의 길이는 $$\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \ dx\,.$$ 로 주어짐을 기억하자. 영역 $R$ 의 둘레를 구하려면 구간 $[0,1.5]$ 에서 $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ (이때 $y' = x-2$) 과 $y=\frac{1}{2}x^2$ (이때 $y' = x$) 로 정의된 곡선의 길이와, $y$ 가 $0$ 에서 $3$ 까지 변할 때 $x=0$ 을 따라 놓인 선분의 길이를 계산한다. 이 마지막 길이는 $3$ 이므로 영역 $R$ 의 둘레는 $$P = 3 + \int_0^{1.5} \sqrt{1+(x-2)^2} + \sqrt{1+x^2} \ dx \approx 7.387234642\,.$$ 로 주어진다.