부분적분법 연습문제 — CLP-2 · 1.7절 · 2번

CLP-2 · 1.7절 · 2번우리말 번역

부분적분을 이용하여 적분의 값을 구하려고 한다고 합시다. 피적분함수의 일부를 $u$ 로, 나머지 일부를 $\mathrm{d}v$ 로 택합니다. $u$ 로 택한 부분은 (미분된다, 부정적분된다). $\mathrm{d}v$ 로 택한 부분은 (미분된다, 부정적분된다).

영어 원문 보기

Suppose you want to evaluate an integral using integration by parts. You choose part of your integrand to be $u$ , and part to be $\mathrm{d}v$ . The part chosen as $u$ will be: (differentiated, antidifferentiated). The part chosen as $\mathrm{d}v$ will be: (differentiated, antidifferentiated).

정답·풀이 보기

공식 $\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$ 를 기억하자. $u$ 를 이용하여 $\mathrm{d}u$ 를 만드므로, 즉 $u$ 를 미분한다. $\mathrm{d}v$ 를 이용하여 $v$ 를 만드므로, 즉 $\mathrm{d}v$ 를 부정적분한다.

원본 교재 풀이(영어)

Remember our rule: $\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$ . So, we take $u$ and use it to make $\mathrm{d}u$ –that is, we differentiate it. We take $\mathrm{d}v$ and use it to make $v$ –that is, we antidifferentiate it.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.7절 · 4번우리말 번역

어떤 미분가능한 함수 $u$ 와 $v$ 에 대해 부분적분을 이용하여 $\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x) \mathrm{d}x$ 의 값을 구하려고 한다고 하자. $v'(x)$ 의 부정적분을 구해야 하는데, 택할 수 있는 것이 무수히 많다. $v'(x)$ 의 모든 부정적분이 서로 같은 최종 결과를 준다는 것을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

모든 부정적분은 상수만큼만 차이가 나므로, 어떤 $C$ 에 대해 모두 $v(x)+C$ 로 쓸 수 있다. 그러면 부분적분 공식에 의해

$\begin{aligned} \int u(x)\cdot v'(x) \mathrm{d}x&=\underbrace{u(x)}_u\underbrace{\big[ v(x)+C\big]}_v - \int \underbrace{\big[ v(x)+C\big]}_v \underbrace{u'(x)\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=u(x)v(x)+Cu(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x - \int Cu'(x)\mathrm{d}x \\&=u(x)v(x)+Cu(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x - Cu(x)+D \\&=u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x +D \end{aligned}$

이다. 여기서 $D$ 는 임의의 상수이다.

$C$ 가 포함된 항이 서로 상쇄되므로 $C$ 를 무엇으로 택하든 상관없다. 어떻게 택해도 결과는 같다.

이 문제로 이어서 풀기

# 부분적분법계산기본자동 분류