부분적분법 연습문제 — CLP-2 · 1.7절 · 4번

CLP-2 · 1.7절 · 4번우리말 번역

어떤 미분가능한 함수 $u$ 와 $v$ 에 대해 부분적분을 이용하여 $\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x) \mathrm{d}x$ 의 값을 구하려고 한다고 하자. $v'(x)$ 의 부정적분을 구해야 하는데, 택할 수 있는 것이 무수히 많다. $v'(x)$ 의 모든 부정적분이 서로 같은 최종 결과를 준다는 것을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose we want to use integration by parts to evaluate $\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x) \mathrm{d}x$ for some differentiable functions $u$ and $v$ . We need to find an antiderivative of $v'(x)$ , but there are infinitely many choices. Show that every antiderivative of $v'(x)$ gives an equivalent final answer.

정답·풀이 보기

모든 부정적분은 상수만큼만 차이가 나므로, 어떤 $C$ 에 대해 모두 $v(x)+C$ 로 쓸 수 있다. 그러면 부분적분 공식에 의해

$\begin{aligned} \int u(x)\cdot v'(x) \mathrm{d}x&=\underbrace{u(x)}_u\underbrace{\big[ v(x)+C\big]}_v - \int \underbrace{\big[ v(x)+C\big]}_v \underbrace{u'(x)\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=u(x)v(x)+Cu(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x - \int Cu'(x)\mathrm{d}x \\&=u(x)v(x)+Cu(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x - Cu(x)+D \\&=u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)\mathrm{d}x +D \end{aligned}$

이다. 여기서 $D$ 는 임의의 상수이다.

$C$ 가 포함된 항이 서로 상쇄되므로 $C$ 를 무엇으로 택하든 상관없다. 어떻게 택해도 결과는 같다.

원본 교재 풀이(영어)

All the antiderivatives differ only by a constant, so we can write them all as $v(x)+C$ for some $C$ . Then, using the formula for integration by parts,

where $D$ is any constant.

Since the terms with $C$ cancel out, it didn't matter what we chose for $C$ –all choices end up the same.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 3.1절 · 7번우리말 번역

가장 간단한 방법을 사용하여 적분을 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아닙니다.

$\int \ln x\,dx$ (힌트: $\int \ln x\,dx$ 는 $\int 1\cdot \ln (x)dx.)$ 와 같습니다.)

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$-x+x\ln x+C$

이 문제로 이어서 풀기

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