부분적분법 연습문제 — CLP-2 · 1.7절 · 16번

CLP-2 · 1.7절 · 16번우리말 번역

$\displaystyle\int 2xe^{x^2+1}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int 2xe^{x^2+1}\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

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망치를 든 사람에게는 모든 것이 못으로 보인다는 점을 다시 한번 상기시켜 준다. 이 문제의 적분은 치환을 이용해 푸는 대표적인 예이다. “안쪽 함수” $x^2+1$ 이 있고, 그 도함수가 피적분함수의 나머지 부분에 곱해져 나타난다. $u=x^2+1$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ 이므로 $\int 2xe^{x^2+1}\mathrm{d}x = \int e^u\mathrm{d}u=e^u+C = e^{x^2+1}+C$

원본 교재 풀이(영어)

This is your friendly reminder that to a person with a hammer, everything looks like a nail. The integral in the problem is a classic example of an integral to solve using substitution. We have an “inside function," $x^2+1$ , whose derivative shows up multiplied to the rest of the integrand. We take $u=x^2+1$ , then $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ , so $\int 2xe^{x^2+1}\mathrm{d}x = \int e^u\mathrm{d}u=e^u+C = e^{x^2+1}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.7절 · 27번우리말 번역

$R$ 을 구간 $0 \le x \le 3$ 에서 곡선 $T(x) = \sqrt{x}e^{3x}$ 과 $B(x) = \sqrt{x}(1+2x)$ 사이의 영역이라 하자. (모든 $0\le x\le 3$ 에 대해 $T(x)\ge B(x)$ 임이 알려져 있다.) $R$ 을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x$ 의 값을 고정하고 $x$ 축을 중심으로 회전시키면, 안쪽 반지름이 $B(x)$ 이고 바깥쪽 반지름이 $T(x)$ 인 워셔(속이 빈 원판)가 만들어지므로 그 넓이는 $\pi [T(x)^2 - B(x)^2]$ 이다. 이 함수를 $x=0$ 에서 $x=3$ 까지 적분하여 전체 부피 $V$ 를 구한다:

$\begin{aligned} V &= \int_0^3 \pi [T(x)^2 - B(x)^2]\,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 (\sqrt{x}e^{3x})^2 - (\sqrt{x}(1+2x))^2 \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 \big( xe^{6x} - (x+4x^2+4x^3) \big) \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[ \frac{x^2}{2} + \frac{4x^3}{3} + x^4\Big]_{0}^3 \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4\Big] \end{aligned}$

첫 번째 적분에는 $u(x) = x$ , $\mathrm{d}v = e^{6x}\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분을 사용한다. 그러면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 이고 $v(x)=\frac16e^{6x}$ 이다:

$\begin{aligned} \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x &=\underbrace{ \frac{xe^{6x}}{6}}_{uv}\bigg|_{0}^3 - \int_0^3 \underbrace{\frac{1}{6}e^{6x} \,\mathrm{d}x }_{v\mathrm{d}u}\\ &= \frac{3e^{18}}{6} - 0 - \frac{1}{36} e^{6x} \bigg|_{0}^3 = \frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg). \end{aligned}$

따라서 전체 부피는

$\begin{aligned} V = \pi \bigg[\frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg) \bigg] - \pi \bigg[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4 \bigg] = \pi \bigg( \frac{17 e^{18}-4373}{36} \bigg). \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 부분적분법계산보통자동 분류