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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

부분적분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 1.7절 · 24번우리말 번역

∫xe−x(1−x)2dx\displaystyle\int \frac{x e^{-x}}{(1-x)^2}\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫xe−x(1−x)2dx\displaystyle\int \frac{x e^{-x}}{(1-x)^2}\mathrm{d}x.

정답·풀이 보기

피적분함수가 여러 함수의 곱으로 이루어져 있고, 뚜렷한 치환도 보이지 않는다. 그래서 부분적분을 생각한다. 1(1−x)2\frac{1}{(1-x)^2} 의 부정적분은 알고 있는데, ddx11−x=1(1−x)2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2} 임을 알고 있기 때문이다. 그러므로 dv=dx(1−x)2\mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2} 과 u=xe−xu=xe^{-x} 로 놓아 보자. 그러면 v=11−xv=\frac{1}{1-x} 이고 du=(1−x)e−x dx\mathrm{d}u = (1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x 이다. 따라서 부분적분에 의해

∫xe−x⏟udx(1−x)2⏟dv=xe−x1−x⏟uv−∫11−x⏟v(1−x)e−x dx⏟du=xe−x1−x−∫e−x dx=xe−x1−x+e−x+C=e−x1−x+C\begin{aligned} \int\underbrace{xe^{-x}}_{u}\underbrace{ \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}}_{\mathrm{d}v} &= \underbrace{\frac{xe^{-x}}{1-x}}_{uv} -\int\underbrace{\frac{1}{1-x}}_{v}\underbrace{(1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u} \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} -\int e^{-x}\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} + e^{-x} + C =\frac{e^{-x}}{1-x} + C \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We've got an integrand that consists of several functions multiplied together, and no obvious substitution. So, we think about integration by parts. We know an antiderivative for 1(1−x)2\frac{1}{(1-x)^2}, because we know ddx11−x=1(1−x)2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}. So let's try dv=dx(1−x)2\mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2} and u=xe−xu=xe^{-x}. Then v=11−xv=\frac{1}{1-x} and du=(1−x)e−x dx\mathrm{d}u = (1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x. So, by integration by parts,

∫xe−x⏟udx(1−x)2⏟dv=xe−x1−x⏟uv−∫11−x⏟v(1−x)e−x dx⏟du=xe−x1−x−∫e−x dx=xe−x1−x+e−x+C=e−x1−x+C\begin{aligned} \int\underbrace{xe^{-x}}_{u}\underbrace{ \frac{\mathrm{d}x}{(1-x)^2}}_{\mathrm{d}v} &= \underbrace{\frac{xe^{-x}}{1-x}}_{uv} -\int\underbrace{\frac{1}{1-x}}_{v}\underbrace{(1-x)e^{-x}\,\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u} \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} -\int e^{-x}\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{xe^{-x}}{1-x} + e^{-x} + C =\frac{e^{-x}}{1-x} + C \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.7절 · 12번우리말 번역

∫x2sin⁡x dx\displaystyle\int x^2\sin x~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

피적분함수는 두 함수의 곱이고 뚜렷한 치환도 보이지 않으므로, 부분적분으로 무엇을 할 수 있는지 살펴보자.

방법 1:u=x2du=2x dx dv=sin⁡x dxv=−cos⁡x방법 2:u=sin⁡xdu=cos⁡x dx dv=x2 dxv=13x3\begin{array}{c | l | l |} &&\\ \text{방법 1:\quad}& u=x^2 &\mathrm{d}u=2x ~\mathrm{d}x\\[10pt] ~& \mathrm{d}v=\sin x~\mathrm{d}x&v=-\cos x\\[10pt] &&\\ \text{방법 2:\quad}& u=\sin x&\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}x\\[10pt] ~& \mathrm{d}v=x^2~ \mathrm{d}x&v=\frac{1}{3}x^3\\[10pt] \end{array}

어느 방법도 곧바로 적분할 수 있는 식을 주지는 않지만, 방법 1은 x2x^2 항을 xx 의 더 낮은 거듭제곱으로 바꾼다. 부분적분을 반복해서 적용하면 이 거듭제곱을 0까지 낮출 수 있다. 그러므로 u=x2u=x^2, dv=sin⁡xdx\mathrm{d}v=\sin x\mathrm{d}x 로 놓고 시작하면 du=2xdx\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x, v=−cos⁡xv=-\cos x 이다.

∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x⏟uv+∫2xcos⁡xdx⏟−vdu=−x2cos⁡x+2∫xcos⁡xdx부분적분을 다시 쓸 때에는 x 를 (부정적분하지 않고) 미분하고 싶으므로 u=x, dv=cos⁡xdx 로 놓으면 du=dx (x 가 사라졌다!), v=sin⁡x 이다.=−x2cos⁡x+2[xsin⁡x⏟uv−∫sin⁡xdx⏟vdu]=−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+C=(2−x2)cos⁡x+2xsin⁡x+C\begin{aligned} \int x^2\sin x~\mathrm{d}x &=\underbrace{ -x^2\cos x}_{uv} +\underbrace{ \int 2x\cos x \mathrm{d}x}_{-v\mathrm{d}u}\\ &=-x^2\cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x \\ \text{부분적분을 다시 쓸 때에는 $x$ 를 (부정적분하지 않고) 미분하고 싶으므로 $u=x$, $\mathrm{d}v=\cos x \mathrm{d}x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ ($x$ 가 사라졌다!), $v=\sin x$ 이다.} \\ &=-x^2\cos x + 2\left[\underbrace{x\sin x}_{uv}-\int \underbrace{\sin x \mathrm{d}x}_{v\mathrm{d}u} \right] \\&=-x^2\cos x + 2x\sin x+2\cos x +C\\ &=(2-x^2)\cos x + 2x\sin x +C \end{aligned}

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