일 연습문제 — CLP-2 · 2.1절 · 2번

CLP-2 · 2.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

바위가 중력 때문에 놓여 있는 땅에 1 N의 힘을 가한다. $g=9.8$ m/sec $^2$ 을 이용하세요.

바위의 질량은 얼마인지 구하세요.

그 바위를 공중으로 1미터 들어 올리는 데 드는 일(줄 단위)은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A rock exerts a force of 1 N on the ground where it sits due to gravity. Use $g=9.8$ m/sec $^2$ .

What is the mass of the rock?

How much work (in joules) does it take to lift that rock one metre in the air?

정답·풀이 보기

바위의 힘은 1뉴턴, 즉 1 킬로그램미터 매 초 제곱이므로 $1~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2} = (x~\text{kg})\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right)$ 따라서 바위의 질량은 $\frac{1}{9.8}$ kg, 즉 약 102그램이다.

이제 1줄이 1뉴턴미터이므로, 1 N의 중력에 맞서 1미터 동안 해야 하는 일은 정확히 1줄이다.

참고: 1줄의 일이 어느 정도이고 1뉴턴의 힘이 어느 정도인지 감을 잡아 두면 계산 결과가 타당한지 확인하는 데 좋은 도구가 된다. 예를 들어 이 문제를 푼 뒤에 구슬 하나의 무게가 100 N 이라는 결과가 나왔다면, 계산에 오류가 있다고 거의 확신할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The force of the rock is one newton, or one kilogram-metre per second squared, so $1~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2} = (x~\text{kg})\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right)$ Therefore, the mass of the rock is $\frac{1}{9.8}$ kg, or about 102 grams.

Now, since one joule is one newton-metre, the amount of work required to counteract 1 N of gravitational force for one metre is precisely one joule.

Remark: having an idea of how much work a joule is, and how much force a newton is, is a good tool for checking the reasonableness of your work. For example, after this question, if you calculate that a marble weighs 100 N, you can be pretty sure there's an error in your calculation.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.1절 · 3번우리말 번역

다음 등식을 생각하세요. $W = \int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x$ 여기서 $x$ 는 미터(m) 단위로 측정하고, $F(x)$ 는 킬로그램·미터 매 초 제곱(뉴턴) 단위로 측정합니다.

충분히 큰 어떤 $n$ 에 대해 다음과 같이 어림할 수 있습니다. $W \approx \sum_{i=1}^n F(x_i)\Delta x$ 여기서 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 이고 $x_i$ 는 구간 $[a+(i-1)\Delta x, a+i\Delta x]$ 안의 어떤 수입니다. (이것은 리만 합의 일반적인 꼴일 뿐입니다.)

(a) $\Delta x$ 의 단위는 무엇인지 구하세요. (b) $F(x_i)$ 의 단위는 무엇인지 구하세요. (c) 위의 답을 이용하여 $W$ 의 단위는 무엇인지 구하세요.

참고: 본문에서 이미 $W$ 의 단위를 알고 있지만, 리만 합을 통해 이 특정한 적분에서 그 단위가 왜 타당한지 알 수 있습니다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 으로 정의하였다. 즉, $[a,b]$ 를 $n$ 개로 나눌 때 한 구간의 길이이다. $b$ 와 $a$ 를 미터로 측정하면 $\Delta x$ 도 미터로 측정된다. 따라서 $\Delta x$ 의 단위는 미터이다.

다르게 말하면, $a$ 와 $b$ 가 모두 미터 단위의 양을 나타내므로 $b-a$ 도 미터 단위의 양을 나타낸다. (단위가 같은 양끼리 더하거나 빼면 그 합이나 차도 같은 단위로 주어진다.) $n$ 은 단위가 없는 양(단순한 수이며 “ $n$ kg” 이나 “ $n$ m” 이 아님)이므로 $\frac{b-a}{n}$ 도 여전히 미터 단위의 양을 나타낸다. (6 미터의 천을 3 조각으로 자르면 각 조각은 $\frac{6}{3}=2$ 미터이다. 2 킬로그램이나 매 초 2 미터가 아니다.) (b) $F(x)$ 를 킬로그램·미터 매 초 제곱(뉴턴) 단위로 측정하므로 $F(x_i)$ 의 단위는 킬로그램·미터 매 초 제곱(뉴턴)이다. (c) $W$ 는 $F(x_i)\Delta x$ 꼴의 항들을 더하여 구한다. $F(x_i)\Delta x$ 의 단위는 $F(x_i)$ 의 단위와 $\Delta x$ 의 단위의 곱이다. 즉, $F(x_i)\Delta x$ 의 단위는 $\left(\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\right)\left(\text{m}\right) = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{sec}^2} = J$ 이다. 줄 단위로 주어진 항들의 합은 그 자체로 줄 단위이므로 $W$ 의 단위는 줄이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 일계산기본자동 분류