일 연습문제 — CLP-2 · 2.1절 · 3번

CLP-2 · 2.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 등식을 생각하세요. $W = \int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x$ 여기서 $x$ 는 미터(m) 단위로 측정하고, $F(x)$ 는 킬로그램·미터 매 초 제곱(뉴턴) 단위로 측정합니다.

충분히 큰 어떤 $n$ 에 대해 다음과 같이 어림할 수 있습니다. $W \approx \sum_{i=1}^n F(x_i)\Delta x$ 여기서 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 이고 $x_i$ 는 구간 $[a+(i-1)\Delta x, a+i\Delta x]$ 안의 어떤 수입니다. (이것은 리만 합의 일반적인 꼴일 뿐입니다.)

(a) $\Delta x$ 의 단위는 무엇인지 구하세요. (b) $F(x_i)$ 의 단위는 무엇인지 구하세요. (c) 위의 답을 이용하여 $W$ 의 단위는 무엇인지 구하세요.

참고: 본문에서 이미 $W$ 의 단위를 알고 있지만, 리만 합을 통해 이 특정한 적분에서 그 단위가 왜 타당한지 알 수 있습니다.

영어 원문 보기

Consider the equation $W = \int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x$ where $x$ is measured in metres and $F(x)$ is measured in kilogram-metres per second squared (newtons).

For some large $n$ , we might approximate $W \approx \sum_{i=1}^n F(x_i)\Delta x$ where $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ and $x_i$ is some number in the interval $[a+(i-1)\Delta x, a+i\Delta x]$ . (This is just the general form of a Riemann sum).

(a) What are the units of $\Delta x$ ? (b) What are the units of $F(x_i)$ ? (c) Using your answers above, what are the units of $W$ ?

Remark: we already know the units of $W$ from the text, but the Riemann sum illustrates why they make sense arising from this particular integral.

정답·풀이 보기

(a) $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 으로 정의하였다. 즉, $[a,b]$ 를 $n$ 개로 나눌 때 한 구간의 길이이다. $b$ 와 $a$ 를 미터로 측정하면 $\Delta x$ 도 미터로 측정된다. 따라서 $\Delta x$ 의 단위는 미터이다.

다르게 말하면, $a$ 와 $b$ 가 모두 미터 단위의 양을 나타내므로 $b-a$ 도 미터 단위의 양을 나타낸다. (단위가 같은 양끼리 더하거나 빼면 그 합이나 차도 같은 단위로 주어진다.) $n$ 은 단위가 없는 양(단순한 수이며 “ $n$ kg” 이나 “ $n$ m” 이 아님)이므로 $\frac{b-a}{n}$ 도 여전히 미터 단위의 양을 나타낸다. (6 미터의 천을 3 조각으로 자르면 각 조각은 $\frac{6}{3}=2$ 미터이다. 2 킬로그램이나 매 초 2 미터가 아니다.) (b) $F(x)$ 를 킬로그램·미터 매 초 제곱(뉴턴) 단위로 측정하므로 $F(x_i)$ 의 단위는 킬로그램·미터 매 초 제곱(뉴턴)이다. (c) $W$ 는 $F(x_i)\Delta x$ 꼴의 항들을 더하여 구한다. $F(x_i)\Delta x$ 의 단위는 $F(x_i)$ 의 단위와 $\Delta x$ 의 단위의 곱이다. 즉, $F(x_i)\Delta x$ 의 단위는 $\left(\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\right)\left(\text{m}\right) = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{sec}^2} = J$ 이다. 줄 단위로 주어진 항들의 합은 그 자체로 줄 단위이므로 $W$ 의 단위는 줄이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We defined $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ : that is, the length of one interval, when we chop $[a,b]$ into $n$ of them. If $b$ and $a$ are measured in metres, then $\Delta x$ is measured in metres as well. So, the units of $\Delta x$ are metres.

Put another way, since $a$ and $b$ both describe a quantity in metres, $b-a$ describes a quantity in metres as well. (When we add or subtract quantities of the same units, their sum or difference is given in the same units.) Since $n$ is a unitless quantity (simply a number: not “ $n$ kg" or “ $n$ m"), $\frac{b-a}{n}$ still describes a quantity in metres. (If I have 6 metres of cloth, and I cut it into 3 pieces, each piece has $\frac{6}{3}=2$ metres–not 2 kilograms, or 2 metres per second.) (b) Since $F(x)$ is measured in kilogram-metres per second squared (newtons), the units of $F(x_i)$ are kilogram-metres per second squared (newtons). (c) $W$ is calculated by adding up summands of the form $F(x_i)\Delta x$ . The units of $F(x_i)\Delta x$ are the products of the units of $F(x_i)$ with the units of $\Delta x$ . That is, the units of $F(x_i)\Delta x$ are $\left(\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\right)\left(\text{m}\right) = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{sec}^2} = J$ . The sum of terms given in joules is itself given in joules, so the units of $W$ are joules.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.1절 · 28번우리말 번역

모래시계의 높이는 0.2 m이고, 수직 중심에서 위쪽이나 아래쪽으로 $y$ 미터 떨어진 곳의 반지름이 $y^2+0.01$ m가 되는 모양이다.

이 모래시계에는 모래가 정확히 절반만큼 차 있으며, 모래의 질량은 $M=\frac{1}{7}$ 킬로그램이다.

모래시계를 재빨리 뒤집을 때 모래에 해 준 일은 얼마인지 구하세요.

한 일은 중력을 거슬러 움직이는 데 든 것뿐이라고 가정하고, $g=9.8$ m/sec $^2$ 이며 모래의 밀도는 균일하다고 하자. 또한 위 그림과 같이 모래시계를 뒤집는 순간에는 모래가 아직 떨어지기 시작하지 않았다고 가정하세요.

다 풀었으면 정답 확인

한 일은 중력을 거스르는 일뿐이므로, 모래가 얼마나 높이 들어 올려졌는지만 알면 되고 어떻게 그곳에 도달했는지는 알 필요가 없다. 따라서 모래의 반원 모양 경로는 신경 쓰지 않아도 된다. 모래알 하나하나가 원래 위치에서 새 위치로 들어 올려졌다고 생각하면 된다.

모래시계의 수직 중심에서 $y$ 미터 아래에 있는 얇고 수평인 모래층을 생각하자.

이 층의 나중 위치는 모래시계의 중심에서 $y$ 미터 위이다. 즉, 중력을 거슬러 $2y$ 미터만큼 들어 올려졌다.
이 층은 반지름이 $y^2+0.01$ 이고 높이가 $\mathrm{d}y$ 인 원기둥 모양이므로, 부피는 $\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ 세제곱미터이다.
이 층의 질량을 구하려면 모래의 밀도를 알아야 한다. 모래시계 안 모래의 부피를 $V$ 라 하자. 질량 $M$ 은 주어져 있다. 그러면 $\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ 세제곱미터의 질량은 $\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ 킬로그램이다.
따라서 이 층에 작용하는 중력은 $9.8\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ N이며, 수직 아래 방향으로 작용한다.
이 층을 나중 위치로 들어 올리려면 $2y$ 미터의 거리에 걸쳐 중력을 상쇄하는 힘을 가해야 하므로, 한 일의 총량은 $9.8\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^22y\,\mathrm{d}y$ J이다.
모래시계의 높이가 $0.2$ m이고 정확히 절반이 모래로 차 있으므로, 맨 위 모래층은 모래시계의 수직 중심에 정확히 놓이고, 맨 아래 모래층은 그 아래 0.1 미터에 있다.

$V$ 는 모래시계 안 모래의 부피이고 $M$ 은 그 질량이므로( $M =\frac{1}{7}$ kg 이 주어져 있다), 모래 전체를 뒤집는 데 한 일의 총량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} W &= \int_0^{0.1} 9.8\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^22y\,\mathrm{d}y = \frac{19.6M\pi}{V}\int_0^{0.1}\big(y^5+0.02y^3+0.0001y\big)\,\mathrm{d}y\\ &= \frac{19.6M\pi}{V}\int_0^{1/10}\left(y^5+\frac{2}{10^2}y^3+\frac{1}{10^4}y\right)\,\mathrm{d}y = \frac{19.6M\pi}{V}\left[\frac{1}{6}y^6+\frac{1}{2\cdot10^2}y^4+\frac{1}{2\cdot 10^4}y^2\right]_0^{1/10}\\ &= \frac{19.6M\pi}{V}\left[\left(\frac{1}{6\cdot 10^6}+\frac{1}{2\cdot10^6}+\frac{1}{2\cdot 10^6}\right) - 0\right]\\ &= \frac{19.6M\pi}{V}\left[\frac{7}{6\cdot 10^6}\right]\tag{$*$} \end{aligned}$

이제 모래시계 안 모래의 부피 $V$ 를 구해야 한다. 모래는 회전체 모양이다. 1.6절에서 이러한 입체의 부피는 얇은 원판으로 잘라서 구할 수 있음을 배웠다.

위 그림에서는 우리가 입체를 설명해 온 방식에 맞게 축을 잡았다. $0$ 은 모래시계의 수직 중심이며 모래의 윗면이 있는 곳이고, 모래의 바닥은 0에서 $0.1$ 미터 떨어져 있다.

이 입체의 부피를 구하기 위해 수평인 원판으로 자른다. 모래시계의 중심에서 $x$ 미터 떨어진 원판은 반지름이 $x^2+0.01$ 이고 두께가 $\mathrm{d}x$ 이므로 부피는 $\pi(x^2+0.01)^2\,\mathrm{d}x$ 이다. 입체 전체의 부피, 즉 모래의 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned}V &= \int_0^{0.1}\pi(x^2+0.01)^2\,\mathrm{d}x = \pi\int_0^{0.1}(x^4+0.02x^2+0.0001)\,\mathrm{d}x\\ &= \pi\left[\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{ 3\times10^2}x^3+\frac{1}{10^4}x\right]_0^{0.1} \\&= \pi\left[\left(\frac{1}{5\times 10^5}+\frac{2}{3\times 10^5}+\frac{1}{10^5}\right)-0\right] \\&= \frac{28\pi}{15\times 10^5}= \frac{28\pi}{1.5\times 10^6} \end{aligned}$

따라서 모래시계 안 모래의 부피는 $V=\frac{28\pi}{1.5\times 10^6}$ 세제곱미터이다.

( $*$ )를 이용하면 모래시계를 재빨리 뒤집는 데 한 일의 총량을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} W&=\frac{19.6M\pi}{V}\left[\frac{7}{6\cdot 10^6} \right]\\ &=\frac{19.6 \times \frac{1}{7} \pi}{\frac{28\pi}{1.5\times 10^6}}\left[\frac{7}{6\cdot 10^6} \right] \\&=\frac{19.6 \times 1.5 }{28 \times 6} = \frac{29.4}{168} =\frac{7}{40}= 0.175 \text{ J} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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