일 연습문제 — CLP-2 · 2.1절 · 28번

CLP-2 · 2.1절 · 28번대학 수준우리말 번역

모래시계의 높이는 0.2 m이고, 수직 중심에서 위쪽이나 아래쪽으로 $y$ 미터 떨어진 곳의 반지름이 $y^2+0.01$ m가 되는 모양이다.

이 모래시계에는 모래가 정확히 절반만큼 차 있으며, 모래의 질량은 $M=\frac{1}{7}$ 킬로그램이다.

모래시계를 재빨리 뒤집을 때 모래에 해 준 일은 얼마인지 구하세요.

한 일은 중력을 거슬러 움직이는 데 든 것뿐이라고 가정하고, $g=9.8$ m/sec $^2$ 이며 모래의 밀도는 균일하다고 하자. 또한 위 그림과 같이 모래시계를 뒤집는 순간에는 모래가 아직 떨어지기 시작하지 않았다고 가정하세요.

영어 원문 보기

An hourglass is 0.2 m tall and shaped such that that $y$ metres above or below its vertical centre it has a radius of $y^2+0.01$ m.

It is exactly half-full of sand, which has mass $M=\frac{1}{7}$ kilograms.

How much work is done on the sand by quickly flipping the hourglass over?

Assume that the work done is only moving against gravity, with $g=9.8$ m/sec $^2$ , and the sand has uniform density. Also assume that at the instant the hourglass is flipped over, the sand has not yet begun to fall, as in the picture above.

정답·풀이 보기

한 일은 중력을 거스르는 일뿐이므로, 모래가 얼마나 높이 들어 올려졌는지만 알면 되고 어떻게 그곳에 도달했는지는 알 필요가 없다. 따라서 모래의 반원 모양 경로는 신경 쓰지 않아도 된다. 모래알 하나하나가 원래 위치에서 새 위치로 들어 올려졌다고 생각하면 된다.

모래시계의 수직 중심에서 $y$ 미터 아래에 있는 얇고 수평인 모래층을 생각하자.

이 층의 나중 위치는 모래시계의 중심에서 $y$ 미터 위이다. 즉, 중력을 거슬러 $2y$ 미터만큼 들어 올려졌다.
이 층은 반지름이 $y^2+0.01$ 이고 높이가 $\mathrm{d}y$ 인 원기둥 모양이므로, 부피는 $\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ 세제곱미터이다.
이 층의 질량을 구하려면 모래의 밀도를 알아야 한다. 모래시계 안 모래의 부피를 $V$ 라 하자. 질량 $M$ 은 주어져 있다. 그러면 $\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ 세제곱미터의 질량은 $\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ 킬로그램이다.
따라서 이 층에 작용하는 중력은 $9.8\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ N이며, 수직 아래 방향으로 작용한다.
이 층을 나중 위치로 들어 올리려면 $2y$ 미터의 거리에 걸쳐 중력을 상쇄하는 힘을 가해야 하므로, 한 일의 총량은 $9.8\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^22y\,\mathrm{d}y$ J이다.
모래시계의 높이가 $0.2$ m이고 정확히 절반이 모래로 차 있으므로, 맨 위 모래층은 모래시계의 수직 중심에 정확히 놓이고, 맨 아래 모래층은 그 아래 0.1 미터에 있다.

$V$ 는 모래시계 안 모래의 부피이고 $M$ 은 그 질량이므로( $M =\frac{1}{7}$ kg 이 주어져 있다), 모래 전체를 뒤집는 데 한 일의 총량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} W &= \int_0^{0.1} 9.8\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^22y\,\mathrm{d}y = \frac{19.6M\pi}{V}\int_0^{0.1}\big(y^5+0.02y^3+0.0001y\big)\,\mathrm{d}y\\ &= \frac{19.6M\pi}{V}\int_0^{1/10}\left(y^5+\frac{2}{10^2}y^3+\frac{1}{10^4}y\right)\,\mathrm{d}y = \frac{19.6M\pi}{V}\left[\frac{1}{6}y^6+\frac{1}{2\cdot10^2}y^4+\frac{1}{2\cdot 10^4}y^2\right]_0^{1/10}\\ &= \frac{19.6M\pi}{V}\left[\left(\frac{1}{6\cdot 10^6}+\frac{1}{2\cdot10^6}+\frac{1}{2\cdot 10^6}\right) - 0\right]\\ &= \frac{19.6M\pi}{V}\left[\frac{7}{6\cdot 10^6}\right]\tag{$*$} \end{aligned}$

이제 모래시계 안 모래의 부피 $V$ 를 구해야 한다. 모래는 회전체 모양이다. 1.6절에서 이러한 입체의 부피는 얇은 원판으로 잘라서 구할 수 있음을 배웠다.

위 그림에서는 우리가 입체를 설명해 온 방식에 맞게 축을 잡았다. $0$ 은 모래시계의 수직 중심이며 모래의 윗면이 있는 곳이고, 모래의 바닥은 0에서 $0.1$ 미터 떨어져 있다.

이 입체의 부피를 구하기 위해 수평인 원판으로 자른다. 모래시계의 중심에서 $x$ 미터 떨어진 원판은 반지름이 $x^2+0.01$ 이고 두께가 $\mathrm{d}x$ 이므로 부피는 $\pi(x^2+0.01)^2\,\mathrm{d}x$ 이다. 입체 전체의 부피, 즉 모래의 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned}V &= \int_0^{0.1}\pi(x^2+0.01)^2\,\mathrm{d}x = \pi\int_0^{0.1}(x^4+0.02x^2+0.0001)\,\mathrm{d}x\\ &= \pi\left[\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{ 3\times10^2}x^3+\frac{1}{10^4}x\right]_0^{0.1} \\&= \pi\left[\left(\frac{1}{5\times 10^5}+\frac{2}{3\times 10^5}+\frac{1}{10^5}\right)-0\right] \\&= \frac{28\pi}{15\times 10^5}= \frac{28\pi}{1.5\times 10^6} \end{aligned}$

따라서 모래시계 안 모래의 부피는 $V=\frac{28\pi}{1.5\times 10^6}$ 세제곱미터이다.

( $*$ )를 이용하면 모래시계를 재빨리 뒤집는 데 한 일의 총량을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} W&=\frac{19.6M\pi}{V}\left[\frac{7}{6\cdot 10^6} \right]\\ &=\frac{19.6 \times \frac{1}{7} \pi}{\frac{28\pi}{1.5\times 10^6}}\left[\frac{7}{6\cdot 10^6} \right] \\&=\frac{19.6 \times 1.5 }{28 \times 6} = \frac{29.4}{168} =\frac{7}{40}= 0.175 \text{ J} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Since the only work done is against the force of gravity, we only need to know how high the sand was lifted, not how it got there. So, we don't really need to worry about its semicircular path: we can imagine that every grain of sand was lifted from its old position to its new position.

Consider a thin, horizontal layer of sand in the hourglass, $y$ metres below the vertical centre of the hourglass.

Its final position is $y$ metres above the centre of the hourglass. That is, it was lifted $2y$ metres against the force of gravity.
The layer is shaped like a circle with radius $y^2+0.01$ and height $\mathrm{d}y$ , so its volume is $\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ cubic metres.
To find the mass of the layer, we need to know the density of the sand. Let the volume of sand in the hourglass be $V$ . We are given its mass $M$ . Then $\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ cubic metres has a mass of $\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ kilograms.
So, the force of gravity acting on the layer is $9.8\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^2\,\mathrm{d}y$ N, acting vertically downwards.
To lift the layer to its final position, we apply a compensating force over a distance of $2y$ metres, for a total work of $9.8\frac{M}{V}\pi\left(y^2+0.01\right)^22y\,\mathrm{d}y$ J.
Since the hourglass has height $0.2$ m, and exactly half of it is filled with sand, the top layer of sand is exactly at the vertical centre of the hourglass, and the bottom layer of sand is 0.1 metres below.

Using $V$ is the volume of sand in the hourglass, and $M$ is its mass (we're given $M =\frac{1}{7}$ kg) then the total work flipping all the sand is:

It remains to find $V$ : the volume of sand in the hourglass. We know the sand is in the shape of a solid of rotation. Recall from Section 1.6 that we can find the volume of such shapes by slicing them into thin disks.

In the picture above, we've used an axis that matches the way we've been describing our solid: $0$ is the vertical centre of the hourglass, which is where the top of the sand is, and the bottom of the sand is $0.1$ metres from 0.

To find the volume of this solid, we slice it into horizontal disks. The disk that is $x$ metres from the centre of the hourglass has radius $x^2+0.01$ and thickness $\mathrm{d}x$ , so it has volume $\pi(x^2+0.01)^2\,\mathrm{d}x$ . The volume of the entire solid, i.e. the volume of the sand, is:

So, the volume of sand in the hourglass is $V=\frac{28\pi}{1.5\times 10^6}$ cubic metres.

Using ( $*$ ), we can find the total work done quickly flipping the hourglass.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.1절 · 23번우리말 번역

아래 그림과 같이, 직육면체 모양의 물탱크에는 밑면의 길이를 줄이거나 늘려서 수면의 높이를 올리거나 내릴 수 있는 플런저가 달려 있다. 이 탱크의 밑면의 너비는 1 m (변하지 않는다)이고, 3 m $^3$ 의 물이 들어 있다.

플런저의 아주 작은 조각에 작용하는 물의 힘은 $PA$ 이다. 여기서 $P$ 는 물의 압력이고, $\mathrm{d}A$ 는 그 작은 조각의 넓이이다. 압력은 (수면 아래) 조각의 깊이에 따라 달라진다. 구체적으로 $P=cD$ 이며, 여기서 $D$ 는 그 작은 조각의 깊이이고 $c$ 는 상수로, 이 경우 $c=9800$ N/m $^3$ 이다.

(a) 밑면의 길이가 3 m일 때, 플런저 전체에 작용하는 물의 힘을 구하세요. (적분으로 구할 수 있다. 플런저의 모든 작은 조각에 작용하는 힘의 합이다.) (b) 밑면의 길이가 $x$ m일 때, 플런저 전체에 작용하는 물의 힘을 구하세요. (c) 밑면의 길이가 3 m에서 1 m가 되도록 플런저를 안쪽으로 밀 때 필요한 일을 구하세요.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 물의 힘은 깊이에 따라 달라지며, 깊이는 일정하지 않다. 따라서 깊이 $y$ 에 있는 플런저의 얇은 직사각형 조각을 생각하자. 이 조각의 높이는 $\mathrm{d}y$ 이고 너비는 1 m (플런저 전체의 너비)이다. 이 직사각형의 넓이를 $\mathrm{d}A$ 라 하자.

이 직사각형의 넓이는 $1\mathrm{d}y$ m $^2$ 이므로, 이 조각에 작용하는 물의 힘은 $F=P\cdot\mathrm{d}A = \underbrace{\left(9800~\tfrac{\text{N}}{\text{m}^3}\right)}_c\underbrace{\left(y\text{ m}\right)}_d \underbrace{\left(\mathrm{d}y \text{ m}^2\right)}_{\mathrm{d}A} = 9800y\,\mathrm{d}y$ N 이다.

플런저 윗부분의 깊이는 $y=0$ 이다. 플런저 아랫부분의 깊이를 구하기 위해, 물의 부피가 3 m $^3$ 이고 밑면이 1 m × 3 m인 직육면체 용기에 담겨 있음에 주목하자. 따라서 물의 높이는 1 m 이다.

깊이 $y=0$ 부터 $y=1$ 까지 플런저 전체에 작용하는 힘은 다음과 같다. $\int_0^1 9800y\,\mathrm{d}y = \big[4900 y^2\big]_0^1 = 4900 \text{ N}$ (b) (a)의 풀이를 따라 하되, 밑면의 길이를 $x$ m 로 놓자.

여전히 플런저의 얇은 직사각형 조각의 너비는 1 m 이고 높이는 $\mathrm{d}y$ m 이므로, 넓이는 $\mathrm{d}y$ m $^2$ 이다. 깊이 $y$ 에서 이 조각이 물로부터 받는 힘은 $9800y\,\mathrm{d}y$ N 이다. 이것은 (a)와 달라지지 않았다.

이제 물의 깊이를 생각해 보자. 물의 부피는 3 m $^3$ 이고, 밑면이 1 m × $x$ m 인 직육면체 용기에 담겨 있다. 따라서 물의 깊이는 $3/x$ m 이다. 그러므로 플런저 전체에 작용하는 힘은 $y=0$ 부터 $y=3/x$ 까지 계산해야 한다. $F(x)=\int_0^{3/x} 9800y\,\mathrm{d}y = \big[4900 y^2\big]_0^{3/x} = \frac{9}{x^2}4900 = \frac{44100}{x^2}\text{ N}$

이 답이 타당한지 확인해 보자. $F(3)=4900$ N 이므로 (a)의 답과 일치한다. (c) 밑면의 길이가 $x$ 미터일 때 플런저에 작용하는 물의 힘이 $F(x)$ 라면, 우리는 $-F(x)$ 의 힘으로 플런저를 밀게 된다. 그러면 우리가 구하려는 일은 다음과 같다.

$\begin{aligned} W &= \int_3^1 -F(x)\,\mathrm{d}x = \int_1^3 F(x)\,\mathrm{d}x \\ \text{ $F(x)$ 는 (b)에서 구한 것과 정확히 같다: $F(x) = \frac{44100}{x^2}\text{ N}$.} \\ W&= \int_1^3 F(x)\,\mathrm{d}x = \int_1^3 \frac{44100}{x^2}\,\mathrm{d}x = 44100\left[-\frac{1}{x}\right]_1^3 = 44100\cdot \frac{2}{3} = 29\,400\text{ J} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 일그래프·표 해석도전자동 분류