일 연습문제 — CLP-2 · 2.1절 · 5번

CLP-2 · 2.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

비행 전에 짐의 무게를 재려고 합니다. 저울이나 천칭은 없지만, 동네 공학 용품점에서 산 튼튼한 용수철이 있습니다. 이 용수철을 벽에 못으로 박아 고정하고, 용수철의 아래쪽 끝이 걸리는 위치를 표시합니다. 용수철에 1리터짜리 물주머니(질량 1킬로그램)를 매달았더니 용수철이 1 cm 늘어났습니다. 질량 10kg을 매달았을 때에 해당하는 용수철의 아래쪽 끝은 벽의 어느 위치에 표시해야 하는지 구하세요.

용수철은 훅의 법칙을 따른다고 가정해도 됩니다.

영어 원문 보기

You want to weigh your luggage before a flight. You don't have a scale or balance, but you do have a heavy-duty spring from your local engineering-supply store. You nail it to your wall, marking where the bottom hangs. You hang a one-litre bag of water (with mass one kilogram) from the spring, and observe that the spring stretches 1 cm. Where on the wall should you mark the bottom of the spring corresponding to a hanging mass of 10kg?

You may assume that the spring obeys Hooke's law.

정답·풀이 보기

훅의 법칙에 따르면 용수철을 원래 길이에서 $x$ 단위만큼 늘이는 데 필요한 힘은 $x$ 에 비례한다. 즉, 각 용수철마다 정해지는 어떤 상수 $k$ 가 있어서, 용수철을 원래 길이에서 $x$ m 만큼 늘이는 데 필요한 힘은 $kx$ 이다.

풀이 1: 용수철을 늘이는 데 필요한 힘은 늘어난 길이에 비례하고, 용수철에 작용하는 힘은 매달린 질량에 비례하므로, 용수철이 늘어나는 길이는 매단 질량에 비례한다고 결론지을 수 있다. 따라서 1 kg이 용수철을 1 cm 늘인다면 10 kg은 10 cm 늘일 것이다. 하중이 걸리지 않은 상태에서 …아래쪽 끝보다 10 cm 아래인 벽 위치에 표시를 해야 한다.
풀이 2: 물주머니로 한 실험에서 $k$ 를 구할 수 있다. 물주머니가 가한 힘은 $(1\text{ kg})(9.8\text{ m/sec}^2) = 9.8$ N $=k(1 \text{ cm})$ 이다. 따라서 $k = \frac{9.8~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}}{0.01\text{ m}} = 980 \frac{\text{kg}}{\text{sec}^2}$

용수철에 10 kg을 매달면 중력이 $(10 \text{ kg})(9.8 \text{ m/sec}^2) = 98~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}$ 의 힘을 가한다. 이 힘은 용수철이 $kx$ 뉴턴의 힘으로 맞서 균형을 이룬다. 여기서 $k$ 는 용수철 상수이고 $x$ 는 늘어난 길이이다.

$\begin{aligned} kx&=98~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\\ \left(980 \frac{\text{kg}}{\text{sec}^2}\right)\left(x\text{ m}\right)&=98~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\\ x&=\frac{1}{10}\text{ m} = 10\text{ cm} \end{aligned}$

따라서 용수철의 원래 길이에서 10 cm 아래에 표시를 해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Hooke's law says that the force required to stretch a spring $x$ units past its natural length is proportional to $x$ ; that is, there is some constant $k$ associated with the individual spring such that the force required to stretch it $x$ m past its natural length is $kx$ .

Solution 1: Since the force required to stretch the spring is proportional to the amount stretched, and the force acting on the spring is proportional to the mass hanging from it, we conclude the amount the spring stretches is proportional to the mass hung from it. So, if 1 kg stretches it 1 cm, then 10 kg will stretch it 10 cm. We should mark the wall 10 cm below the bottom of the spring as it hangs unloaded.
Solution 2: We can find $k$ from the test with the bag of water. The force exerted by the bag of water was $(1\text{ kg})(9.8\text{ m/sec}^2) = 9.8$ N $=k(1 \text{ cm})$ . So, $k = \frac{9.8~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}}{0.01\text{ m}} = 980 \frac{\text{kg}}{\text{sec}^2}$

If we hang 10 kg from the spring, gravity exerts a force of $(10 \text{ kg})(9.8 \text{ m/sec}^2) = 98~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}$ . This will be matched by the spring with a force of $kx$ newtons, where $k$ is the spring constant and $x$ is the amount stretched.

So, we should put the mark at 10 cm below the natural length of the spring.

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 7.5절 · 21번우리말 번역

높이가 6 ft이고 반지름이 3 ft인 원기둥 모양의 탱크에 무게 밀도가 62.4 lb/ft $^3$ 인 물이 가득 차 있다. 이 물을 탱크 꼭대기보다 2 ft 높은 지점까지 퍼 올리려 한다.

(a) 탱크의 물을 모두 퍼 올리는 데 한 일은 얼마입니까? (b) 탱크에서 물 3 ft 높이만큼을 퍼 올리는 데 한 일은 얼마입니까? (c) 전체 일의 1/2이 이루어지는 시점은 언제입니까?

다 풀었으면 정답 확인

(a) 52,929.6 ft–lb (b) 18,525.3 ft–lb (c) 탱크에서 물을 3.83 ft 높이만큼 퍼냈을 때이며, 이때 탱크에는 약 2.17 ft 높이의 물이 남는다.

이 문제로 이어서 풀기

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