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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분의 활용

일

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 2.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

일회용 종이컵이 반지름 5 cm, 높이 15 cm인 직원뿔 모양이고, 물이 가득 채워져 있습니다. 빨대로 원뿔 안의 물을 모두 빨아올릴 때 한 일은 얼마인지 구하세요.

그림

물 1 m3^3 의 질량은 1000 킬로그램이고, 중력 가속도는 −9.8-9.8 m/sec2^2 이며, 물은 컵의 맨 위까지만 올라가고 그보다 더 높이 올라가지는 않는다고 가정해도 됩니다.

영어 원문 보기

A disposable paper cup has the shape of a right circular cone with radius 5 cm and height 15 cm, and is completely filled with water. How much work is done sucking all the water out of the cone with a straw?

figure

You may assume that 1 m3^3 of water has mass 1000 kilograms, the acceleration due to gravity is −9.8-9.8 m/sec2^2, and that the water moves as high up as the very top of the cup and no higher.

답 쓰고 채점
J
정답·풀이 보기

수평인 얇은 물층 하나를 빨아올리는 경우를 생각하자. 물이 원뿔의 바닥에서 yy 미터 높이에 있으면, 0.15−y0.15-y 미터만큼 끌어올려야 한다. 따라서 그 질량이 mm kg 이면 그 물층에 작용하는 중력은 9.8m9.8m N 이고, 이를 원뿔의 맨 위까지 빨아올리는 데 드는 일은 9.8m(0.15−y)9.8m(0.15-y) J 이다. 그러므로 구해야 할 것은 원뿔의 바닥에서 yy 미터 높이에 있는 물층의 질량이다.

그림

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원뿔의 수평 단면은 원이다. 그 반지름을 구하기 위해 닮은 삼각형을 이용하면 ry=0.050.15\frac{r}{y} = \frac{0.05}{0.15} 이므로 r=13yr=\frac{1}{3}y 이다. 따라서 원뿔의 바닥에서 yy 미터 높이에 있는 단면의 넓이는 π(13y)2=π9y2\pi\left(\frac{1}{3}y\right)^2 = \frac{\pi}{9}y^2 m2^2 이다. 이 물층의 높이가 dy\mathrm{d}y 이면 부피는 π9y2 dy\frac{\pi}{9}y^2\,\mathrm{d}y m3^3 이고, 질량은 1000π9y2 dy1000\frac{\pi}{9}y^2\,\mathrm{d}y kg 이다.

이제 컵의 바닥에서 yy 미터 높이에 있는 물층을 빨아올리는 데 드는 일은 9.8(0.15−y)(1000π9y2 dy)9.8(0.15-y)\left(1000\frac{\pi}{9}y^2\,\mathrm{d}y\right) J 임을 알았다. 따라서 물을 모두 마시는 데 드는 일은 다음과 같다.

W=∫00.159.8(0.15−y)(1000π9y2) dy=9800π9∫00.15(0.15y2−y3) dy=9800π9[0.153y3−14y4]00.15=9800π9[0.05(0.15)3−14(0.15)4]≈0.144 J\begin{aligned} W&=\int_0^{0.15}9.8(0.15-y)\left(1000\frac{\pi}{9}y^2\right)\,\mathrm{d}y \\ &= \frac{9800\pi}{9}\int_0^{0.15}\big(0.15y^2-y^3\big)\,\mathrm{d}y\\ &= \frac{9800\pi}{9}\left[\frac{0.15}{3}y^3-\frac{1}{4}y^4 \right]_0^{0.15} \\&= \frac{9800\pi}{9}\left[{0.05} (0.15)^3-\frac{1}{4}(0.15)^4 \right]\\ &\approx 0.144\text{ J} \end{aligned}

물을 마시는 데에도 일이 필요하다. 삶은 고단하다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's consider sucking up a flat, horizontal layer of water. If the water is yy metres above bottom of the cone, then it needs to be raised 0.15−y0.15-y metres. So, if its mass is mm kg, then the force of gravity acting on it is 9.8m9.8m N and the work involved in slurping it to the top of the cone is 9.8m(0.15−y)9.8m(0.15-y) J. So, what we need to find is the mass of a layer of water yy metres from the bottom of the cone.

figure

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A horizontal cross-section of the cone is a circle. To find its radius, we use similar triangles: ry=0.050.15\frac{r}{y} = \frac{0.05}{0.15}, so r=13yr=\frac{1}{3}y. Therefore, the area of the cross-section of the cone yy metres above its bottom is π(13y)2=π9y2\pi\left(\frac{1}{3}y\right)^2 = \frac{\pi}{9}y^2 m2^2. If this layer has height dy\mathrm{d}y, then its volume is π9y2 dy\frac{\pi}{9}y^2\,\mathrm{d}y m3^3, and its mass is 1000π9y2 dy1000\frac{\pi}{9}y^2\,\mathrm{d}y kg.

Now, we know that the work to suck up the layer of water yy metres from the bottom of the cup is 9.8(0.15−y)(1000π9y2 dy)9.8(0.15-y)\left(1000\frac{\pi}{9}y^2\,\mathrm{d}y\right) J. So, the work involved in drinking all the water is:

W=∫00.159.8(0.15−y)(1000π9y2) dy=9800π9∫00.15(0.15y2−y3) dy=9800π9[0.153y3−14y4]00.15=9800π9[0.05(0.15)3−14(0.15)4]≈0.144 J\begin{aligned} W&=\int_0^{0.15}9.8(0.15-y)\left(1000\frac{\pi}{9}y^2\right)\,\mathrm{d}y \\ &= \frac{9800\pi}{9}\int_0^{0.15}\big(0.15y^2-y^3\big)\,\mathrm{d}y\\ &= \frac{9800\pi}{9}\left[\frac{0.15}{3}y^3-\frac{1}{4}y^4 \right]_0^{0.15} \\&= \frac{9800\pi}{9}\left[{0.05} (0.15)^3-\frac{1}{4}(0.15)^4 \right]\\ &\approx 0.144\text{ J} \end{aligned}

Even drinking water takes work. Life is hard.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.1절 · 24번우리말 번역

물이 새는 양동이가 우물에서 물 5 L를 담아 올리는데, 10초마다 1 L씩 물이 떨어져 나갑니다. 이 양동이를 2초에 1미터씩 일정한 속력으로 5미터 끌어올렸다면, 한 일의 양은 얼마인지 구하세요.

밧줄과 양동이의 질량은 무시할 수 있고 물 1리터의 질량은 1 kg이라고 가정하며, 중력가속도는 9.89.8 m/sec2^2을 사용하세요.

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J
다 풀었으면 정답 확인

먼저 끌어올린 시간을 끌어올린 길이로 바꾸어 보자. 밧줄을 yy 미터 끌어올렸을 때 2y2y 초가 지났으므로 양동이에서 15y\frac{1}{5}y 리터의 물이 새어 나갔고, 5−15y5-\frac{1}{5}y 리터가 남는다. (이는 15y≤5\frac{1}{5}y \leq 5 일 때만 의미가 있지만, 여기서는 yy 가 0에서 5까지인 경우만 생각하므로 문제가 되지 않는다. 즉, 더 이상 샐 물이 없는 빈 양동이를 끌어올리는 경우는 없다.)

밧줄을 yy 미터 끌어올렸을 때 양동이 속 물의 질량은 (5−15y)(5-\frac{1}{5}y) kg이므로, 물에 작용하는 중력은 9.8(5−15y)9.8(5-\frac{1}{5}y) N이다. 밧줄을 5미터 끌어올리므로 한 일의 양은 다음과 같다. W=∫059.8(5−15y) dy=9.8[5y−110y2]05=9.8[25−2.5]=220.5 JW = \int_0^5 9.8\left(5-\frac{1}{5}y\right) \,\mathrm{d}y = 9.8\left[5y-\frac{1}{10}y^2\right]_0^5 = 9.8\left[25-2.5\right]=220.5\text{ J}

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CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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