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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분의 활용

일

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 2.1절 · 23번대학 수준우리말 번역

아래 그림과 같이, 직육면체 모양의 물탱크에는 밑면의 길이를 줄이거나 늘려서 수면의 높이를 올리거나 내릴 수 있는 플런저가 달려 있다. 이 탱크의 밑면의 너비는 1 m (변하지 않는다)이고, 3 m3^3의 물이 들어 있다.

그림

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플런저의 아주 작은 조각에 작용하는 물의 힘은 PAPA 이다. 여기서 PP 는 물의 압력이고, dA\mathrm{d}A 는 그 작은 조각의 넓이이다. 압력은 (수면 아래) 조각의 깊이에 따라 달라진다. 구체적으로 P=cDP=cD 이며, 여기서 DD 는 그 작은 조각의 깊이이고 cc 는 상수로, 이 경우 c=9800c=9800 N/m3^3 이다.

(a) 밑면의 길이가 3 m일 때, 플런저 전체에 작용하는 물의 힘을 구하세요. (적분으로 구할 수 있다. 플런저의 모든 작은 조각에 작용하는 힘의 합이다.) (b) 밑면의 길이가 xx m일 때, 플런저 전체에 작용하는 물의 힘을 구하세요. (c) 밑면의 길이가 3 m에서 1 m가 되도록 플런저를 안쪽으로 밀 때 필요한 일을 구하세요.

영어 원문 보기

A rectangular tank is fitted with a plunger that can raise and lower the water level by decreasing and increasing the length of its base, as in the diagrams below. The tank has base width 1 m (which does not change) and contains 3 m3^3 of water.

figure

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The force of the water acting on any tiny piece of the plunger is PAPA, where PP is the pressure of the water, and dA\mathrm{d}A is the area of the tiny piece. The pressure varies with the depth of the piece (below the surface of the water). Specifically, P=cDP=cD, where DD is the depth of the tiny piece and cc is a constant, in this case c=9800c=9800 N/m3^3.

(a) If the length of the base is 3 m, give the force of the water on the entire plunger. (You can do this with an integral: it's the sum of the force on all the tiny pieces of the plunger.) (b) If the length of the base is xx m, give the force of the water on the entire plunger. (c) Give the work required to move the plunger in so that the base length changes from 3 m to 1 m.

답 쓰고 채점
(a)
N
(b)
N
(c)
J
정답·풀이 보기

(a) 물의 힘은 깊이에 따라 달라지며, 깊이는 일정하지 않다. 따라서 깊이 yy 에 있는 플런저의 얇은 직사각형 조각을 생각하자. 이 조각의 높이는 dy\mathrm{d}y 이고 너비는 1 m (플런저 전체의 너비)이다. 이 직사각형의 넓이를 dA\mathrm{d}A 라 하자.

그림

이 직사각형의 넓이는 1dy1\mathrm{d}y m2^2 이므로, 이 조각에 작용하는 물의 힘은 F=P⋅dA=(9800 Nm3)⏟c(y m)⏟d(dy m2)⏟dA=9800y dyF=P\cdot\mathrm{d}A = \underbrace{\left(9800~\tfrac{\text{N}}{\text{m}^3}\right)}_c\underbrace{\left(y\text{ m}\right)}_d \underbrace{\left(\mathrm{d}y \text{ m}^2\right)}_{\mathrm{d}A} = 9800y\,\mathrm{d}y N 이다.

플런저 윗부분의 깊이는 y=0y=0 이다. 플런저 아랫부분의 깊이를 구하기 위해, 물의 부피가 3 m3^3 이고 밑면이 1 m × 3 m인 직육면체 용기에 담겨 있음에 주목하자. 따라서 물의 높이는 1 m 이다.

깊이 y=0y=0 부터 y=1y=1 까지 플런저 전체에 작용하는 힘은 다음과 같다. ∫019800y dy=[4900y2]01=4900 N\int_0^1 9800y\,\mathrm{d}y = \big[4900 y^2\big]_0^1 = 4900 \text{ N} (b) (a)의 풀이를 따라 하되, 밑면의 길이를 xx m 로 놓자.

여전히 플런저의 얇은 직사각형 조각의 너비는 1 m 이고 높이는 dy\mathrm{d}y m 이므로, 넓이는 dy\mathrm{d}y m2^2 이다. 깊이 yy 에서 이 조각이 물로부터 받는 힘은 9800y dy9800y\,\mathrm{d}y N 이다. 이것은 (a)와 달라지지 않았다.

이제 물의 깊이를 생각해 보자. 물의 부피는 3 m3^3 이고, 밑면이 1 m × xx m 인 직육면체 용기에 담겨 있다. 따라서 물의 깊이는 3/x3/x m 이다. 그러므로 플런저 전체에 작용하는 힘은 y=0y=0 부터 y=3/xy=3/x 까지 계산해야 한다. F(x)=∫03/x9800y dy=[4900y2]03/x=9x24900=44100x2 NF(x)=\int_0^{3/x} 9800y\,\mathrm{d}y = \big[4900 y^2\big]_0^{3/x} = \frac{9}{x^2}4900 = \frac{44100}{x^2}\text{ N}

이 답이 타당한지 확인해 보자. F(3)=4900F(3)=4900 N 이므로 (a)의 답과 일치한다. (c) 밑면의 길이가 xx 미터일 때 플런저에 작용하는 물의 힘이 F(x)F(x) 라면, 우리는 −F(x)-F(x) 의 힘으로 플런저를 밀게 된다. 그러면 우리가 구하려는 일은 다음과 같다.

W=∫31−F(x) dx=∫13F(x) dx F(x) 는 (b)에서 구한 것과 정확히 같다: F(x)=44100x2 N.W=∫13F(x) dx=∫1344100x2 dx=44100[−1x]13=44100⋅23=29 400 J\begin{aligned} W &= \int_3^1 -F(x)\,\mathrm{d}x = \int_1^3 F(x)\,\mathrm{d}x \\ \text{ $F(x)$ 는 (b)에서 구한 것과 정확히 같다: $F(x) = \frac{44100}{x^2}\text{ N}$.} \\ W&= \int_1^3 F(x)\,\mathrm{d}x = \int_1^3 \frac{44100}{x^2}\,\mathrm{d}x = 44100\left[-\frac{1}{x}\right]_1^3 = 44100\cdot \frac{2}{3} = 29\,400\text{ J} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The force of the depends on depth, which varies. So, consider a thin rectangle of the plunger at depth yy, with height dy\mathrm{d}y and width 1 m (the width of the entire plunger). Let the area of this rectangle be dA\mathrm{d}A.

figure

The area of this rectangle is 1dy1\mathrm{d}y m2^2, so the force of the water acting on it is F=P⋅dA=(9800 Nm3)⏟c(y m)⏟d(dy m2)⏟dA=9800y dyF=P\cdot\mathrm{d}A = \underbrace{\left(9800~\tfrac{\text{N}}{\text{m}^3}\right)}_c\underbrace{\left(y\text{ m}\right)}_d \underbrace{\left(\mathrm{d}y \text{ m}^2\right)}_{\mathrm{d}A} = 9800y\,\mathrm{d}y N.

The depth at the top of the plunger is y=0y=0. To find the depth at the bottom of the plunger, note that the water has a volume of 3 m3^3, and is in a rectangular container with base 1 m by 3 m. So, its height is 1 m.

The force over the entire plunger, from depth y=0y=0 to y=1y=1, is ∫019800y dy=[4900y2]01=4900 N\int_0^1 9800y\,\mathrm{d}y = \big[4900 y^2\big]_0^1 = 4900 \text{ N} (b) Let's follow our work from part (a), but with the width of the length of the base as xx m.

Still, a thin rectangle of plunger has width 1 m and height dy\mathrm{d}y m, so it has area dy\mathrm{d}y m2^2. At depth yy, it has a force from the water of 9800y dy9800y\,\mathrm{d}y N. This hasn't changed from (a).

Now, let's consider the depth of the water. The volume of water is 3 m3^3, and it is in a rectangular container with base 1 m by xx m. So, its depth is 3/x3/x m. Therefore, the force on the entire plunger must be calculated from y=0y=0 to y=3/xy=3/x. F(x)=∫03/x9800y dy=[4900y2]03/x=9x24900=44100x2 NF(x)=\int_0^{3/x} 9800y\,\mathrm{d}y = \big[4900 y^2\big]_0^{3/x} = \frac{9}{x^2}4900 = \frac{44100}{x^2}\text{ N}

Let's check that this answer makes sense: F(3)=4900F(3)=4900 N, which matches our answer from (a). (c) If the force of water acting on the plunger, when the length of the base is xx metres, is given by F(x)F(x), then we push the plunger with a force of −F(x)-F(x). Then the work we're looking for is

W=∫31−F(x) dx=∫13F(x) dx F(x) is exactly what we found in (b): F(x)=44100x2 N.W=∫13F(x) dx=∫1344100x2 dx=44100[−1x]13=44100⋅23=29 400 J\begin{aligned} W &= \int_3^1 -F(x)\,\mathrm{d}x = \int_1^3 F(x)\,\mathrm{d}x \\ \text{ $F(x)$ is exactly what we found in (b): $F(x) = \frac{44100}{x^2}\text{ N}$.} \\ W&= \int_1^3 F(x)\,\mathrm{d}x = \int_1^3 \frac{44100}{x^2}\,\mathrm{d}x = 44100\left[-\frac{1}{x}\right]_1^3 = 44100\cdot \frac{2}{3} = 29\,400\text{ J} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.1절 · 20번우리말 번역

일회용 종이컵이 반지름 5 cm, 높이 15 cm인 직원뿔 모양이고, 물이 가득 채워져 있습니다. 빨대로 원뿔 안의 물을 모두 빨아올릴 때 한 일은 얼마인지 구하세요.

그림

물 1 m3^3 의 질량은 1000 킬로그램이고, 중력 가속도는 −9.8-9.8 m/sec2^2 이며, 물은 컵의 맨 위까지만 올라가고 그보다 더 높이 올라가지는 않는다고 가정해도 됩니다.

답 쓰고 채점
J
다 풀었으면 정답 확인

수평인 얇은 물층 하나를 빨아올리는 경우를 생각하자. 물이 원뿔의 바닥에서 yy 미터 높이에 있으면, 0.15−y0.15-y 미터만큼 끌어올려야 한다. 따라서 그 질량이 mm kg 이면 그 물층에 작용하는 중력은 9.8m9.8m N 이고, 이를 원뿔의 맨 위까지 빨아올리는 데 드는 일은 9.8m(0.15−y)9.8m(0.15-y) J 이다. 그러므로 구해야 할 것은 원뿔의 바닥에서 yy 미터 높이에 있는 물층의 질량이다.

그림

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원뿔의 수평 단면은 원이다. 그 반지름을 구하기 위해 닮은 삼각형을 이용하면 ry=0.050.15\frac{r}{y} = \frac{0.05}{0.15} 이므로 r=13yr=\frac{1}{3}y 이다. 따라서 원뿔의 바닥에서 yy 미터 높이에 있는 단면의 넓이는 π(13y)2=π9y2\pi\left(\frac{1}{3}y\right)^2 = \frac{\pi}{9}y^2 m2^2 이다. 이 물층의 높이가 dy\mathrm{d}y 이면 부피는 π9y2 dy\frac{\pi}{9}y^2\,\mathrm{d}y m3^3 이고, 질량은 1000π9y2 dy1000\frac{\pi}{9}y^2\,\mathrm{d}y kg 이다.

이제 컵의 바닥에서 yy 미터 높이에 있는 물층을 빨아올리는 데 드는 일은 9.8(0.15−y)(1000π9y2 dy)9.8(0.15-y)\left(1000\frac{\pi}{9}y^2\,\mathrm{d}y\right) J 임을 알았다. 따라서 물을 모두 마시는 데 드는 일은 다음과 같다.

W=∫00.159.8(0.15−y)(1000π9y2) dy=9800π9∫00.15(0.15y2−y3) dy=9800π9[0.153y3−14y4]00.15=9800π9[0.05(0.15)3−14(0.15)4]≈0.144 J\begin{aligned} W&=\int_0^{0.15}9.8(0.15-y)\left(1000\frac{\pi}{9}y^2\right)\,\mathrm{d}y \\ &= \frac{9800\pi}{9}\int_0^{0.15}\big(0.15y^2-y^3\big)\,\mathrm{d}y\\ &= \frac{9800\pi}{9}\left[\frac{0.15}{3}y^3-\frac{1}{4}y^4 \right]_0^{0.15} \\&= \frac{9800\pi}{9}\left[{0.05} (0.15)^3-\frac{1}{4}(0.15)^4 \right]\\ &\approx 0.144\text{ J} \end{aligned}

물을 마시는 데에도 일이 필요하다. 삶은 고단하다.

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CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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