함수의 평균값 연습문제 — CLP-2 · 2.2절 · 5번

CLP-2 · 2.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 와 $g(x)$ 는 구간 $[0,10]$ 의 모든 수에서 정의된 함수라고 하자.

(a) $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \leq g(x)$ 이면, 구간 $[0,10]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값은 $g(x)$ 의 평균값보다 작거나 같은지, 아니면 알 수 있는 정보가 충분하지 않은지 판단하세요. (b) $[0.01,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \leq g(x)$ 라고 하자. 구간 $[0,10]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값은 $g(x)$ 의 평균값보다 작거나 같은지, 아니면 알 수 있는 정보가 충분하지 않은지 판단하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ and $g(x)$ are functions that are defined for all numbers in the interval $[0,10]$ .

(a) If $f(x) \leq g(x)$ for all $x$ in $[0,10]$ , then is the average value of $f(x)$ is less than or equal to the average value of $g(x)$ on the interval $[0,10]$ , or is there not enough information to tell? (b) Suppose $f(x) \leq g(x)$ for all $x$ in $[0.01,10]$ . Is the average value of $f(x)$ less than or equal to the average value of $g(x)$ over the interval $[0,10]$ , or is there not enough information to tell?

정답·풀이 보기

(a) 예, $[0,10]$ 에서 $f(x)$ 의 평균은 $g(x)$ 의 평균보다 작거나 같다. 그 이유는 $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \leq g(x)$ 이면 다음이 성립하기 때문이다. $\frac{1}{10}\int_0^{10}f(x)\,\mathrm{d}x \leq \frac{1}{10}\int_0^{10}g(x)\,\mathrm{d}x.$ (b) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. 물론 성립할 수도 있다. 예를 들어 $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ , $g(x)=1$ 이라 하자. 그러면 $f(x) \leq g(x)$ 이고 $f(x)$ 의 평균은 0이며, 이는 $g(x)$ 의 평균인 1보다 작다.

그러나 $f(x) = \begin{cases} 100 & \text{(}0 \le x \le 0.01\text{ 일 때)}\\ 0 & \text{ 그 외 } \end{cases}$ 이고 $g(x) = 0$ 인 경우를 생각하자. 그러면 $[0.01,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \le g(x)$ 이지만, $f(x)$ 의 평균은 $0.1$ 이고 $g(x)$ 의 평균은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Yes, the average of $f(x)$ is less than or equal to the average of $g(x)$ on $[0,10]$ . The reason is that, if $f(x) \leq g(x)$ for all $x$ in $[0,10]$ , then: $\frac{1}{10}\int_0^{10}f(x)\,\mathrm{d}x \leq \frac{1}{10}\int_0^{10}g(x)\,\mathrm{d}x.$ (b) There is not enough information to tell. It's certainly possible: for instance, take $f(x)=0$ and $g(x)=1$ for all $x$ in $[0,10]$ . Then $f(x) \leq g(x)$ and the average of $f(x)$ is 0, which is less than 1, the average of $g(x)$ .

However, consider $f(x) = \begin{cases} 100 & \text{ if } 0 \le x \le 0.01\\ 0 & \text{ else } \end{cases}$ and $g(x) = 0$ . Then $f(x) \le g(x)$ for all $x$ in $[0.01,10]$ , but the average of $f(x)$ is $0.1$ , while the average of $g(x)$ is 0.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.2절 · 12번우리말 번역

구간 $[1,e]$ 에서 함수 $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ 의 평균값은 얼마인지 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

정의에 따라 평균값은

$\begin{aligned} \frac{1}{e-1}\int_1^e\frac{\log x}{x}\ \mathrm{d}x& \\ \text{적분하기 위해 치환 $u=\log x$, $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 를 이용한다. 그러면 적분 구간의 아래끝과 위끝은 각각 0과 1이 된다.} \\ \frac{1}{e-1}\int_1^e\frac{\log x}{x}\ \mathrm{d}x& =\frac{1}{e-1}\int_0^1u\ \mathrm{d}u =\frac{1}{e-1}\bigg[\frac{u^2}{2}\bigg]_0^1 =\frac{1}{2(e-1)} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 평균값계산기본자동 분류