함수의 평균값 연습문제 — CLP-2 · 2.2절 · 10번

CLP-2 · 2.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

$k$ 를 양의 상수라 하자. 구간 $0\le x\le \pi/k$ 에서 함수 $f(x) = \sin(kx)$ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $k$ be a positive constant. Find the average value of the function $f(x) = \sin(kx)$ on the interval $0\le x\le \pi/k$ .

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정의에 따라, 구하는 평균값은 다음과 같다.

$\text{Ave}=\frac1{\pi/k-0} \int_0^{\pi/k} \sin(kx) \,\mathrm{d}x$

이 적분을 계산하기 위해 치환 $u = kx$ , $\mathrm{d}u=k\,\mathrm{d}x$ 를 사용한다. 적분 구간의 양 끝 $x=0$ 과 $x=\pi/k$ 는 각각 $u=0$ 과 $u=\pi$ 로 바뀜에 유의한다. 따라서

$\begin{aligned} \text{Ave}=\frac{k}{\pi} \int_0^\pi \sin(u) \,\frac{\mathrm{d}u}{k} =\frac{1}{\pi}\Big[-\cos(u)\Big]_0^\pi =\frac{2}{\pi} \end{aligned}$

참고: 평균값은 $k$ 에 의존하지 않는다. 그 이유를 보기 위해, $x$ 가 변할 때 $\sin(kx)$ 는 $-1$ 과 $1$ 사이의 값을 가짐에 주목하자. $x=0$ 일 때 $kx=0$ 이고, $x=\pi/k$ 일 때 $kx=\pi$ 이다. 따라서 함수 $\sin (kx)$ 는 $\sin 0 =0$ 에서 $\sin(\pi/2)=1$ 까지 올라갔다가, 다시 $\sin\pi=0$ 까지 내려온다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition, the average value in question equals

$\text{Ave}=\frac1{\pi/k-0} \int_0^{\pi/k} \sin(kx) \,\mathrm{d}x$

To evaluate the integral, we use the substitution $u = kx$ , $\mathrm{d}u=k\,\mathrm{d}x$ . Note that the endpoints $x=0$ and $x=\pi/k$ become $u=0$ and $u=\pi$ , respectively. So

$\begin{aligned} \text{Ave}=\frac{k}{\pi} \int_0^\pi \sin(u) \,\frac{\mathrm{d}u}{k} =\frac{1}{\pi}\Big[-\cos(u)\Big]_0^\pi =\frac{2}{\pi} \end{aligned}$

Remark: the average does not depend on $k$ . To see why this is, note that $\sin(kx)$ runs between $-1$ and $1$ as $x$ changes. When $x=0$ , $kx=0$ , and when $x=\pi/k$ , $kx=\pi$ . So, our function $\sin (kx)$ runs exactly from $\sin 0 =0$ to $\sin(\pi/2)=1$ , then back down to $\sin\pi=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.2절 · 11번우리말 번역

길이가 3 m인 막대에서, 막대의 왼쪽 끝으로부터 $x$ m 떨어진 지점의 섭씨 온도는 함수 $T(x)=\frac{80}{16-x^2}$ 으로 주어진다. 막대의 평균 온도를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

정의에 따라 평균 온도는 $\frac{1}{3}\int_0^3 T(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{16-x^2}\,\mathrm{d}x$ 뚜렷한 치환은 보이지 않지만, 피적분함수는 유리함수이다. 분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 분모를 인수분해하여 부분분수분해를 이용한다.

$\begin{aligned} \frac{80}{16-x^2}&=\frac{80}{(4-x)(4+x)} = \frac{A}{4-x}+\frac{B}{4+x}\\ 80&=A(4+x)+B(4-x) \\ \text{ $x=4$ 를 대입하면 $80=8A$ 이므로 $A=10$ 이다. $x=-4$ 를 대입하면 $80=8B$ 이므로 $B=10$ 이다. } \\ \frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{16-x^2}\,\mathrm{d}x&=\frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{(4-x)(4+x)}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int_0^3 \Big[\frac{ 10}{4-x}+\frac{ 10}{4+x}\Big]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}\int_0^3 \Big[-\frac{10}{x-4}+\frac{10}{4+x}\Big]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{10}{3}\Big[-\log|x-4|+\log|x+4|\Big]_0^3 \\ &=\frac{10}{3}\log\Big|\frac{x+4}{x-4}\Big|\bigg|_0^3 =\frac{10}{3}[\log 7-\log 1] \\ &=\frac{10}{3}\log 7\quad\text{ 섭씨 도} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 평균값계산보통자동 분류