함수의 평균값 연습문제 — CLP-2 · 2.2절 · 11번

CLP-2 · 2.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

길이가 3 m인 막대에서, 막대의 왼쪽 끝으로부터 $x$ m 떨어진 지점의 섭씨 온도는 함수 $T(x)=\frac{80}{16-x^2}$ 으로 주어진다. 막대의 평균 온도를 구하세요.

영어 원문 보기

The temperature in Celsius in a 3 m long rod at a point $x$ metres from the left end of the rod is given by the function $T(x)=\frac{80}{16-x^2}$ . Determine the average temperature in the rod.

정답·풀이 보기

정의에 따라 평균 온도는 $\frac{1}{3}\int_0^3 T(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{16-x^2}\,\mathrm{d}x$ 뚜렷한 치환은 보이지 않지만, 피적분함수는 유리함수이다. 분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 분모를 인수분해하여 부분분수분해를 이용한다.

$\begin{aligned} \frac{80}{16-x^2}&=\frac{80}{(4-x)(4+x)} = \frac{A}{4-x}+\frac{B}{4+x}\\ 80&=A(4+x)+B(4-x) \\ \text{ $x=4$ 를 대입하면 $80=8A$ 이므로 $A=10$ 이다. $x=-4$ 를 대입하면 $80=8B$ 이므로 $B=10$ 이다. } \\ \frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{16-x^2}\,\mathrm{d}x&=\frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{(4-x)(4+x)}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int_0^3 \Big[\frac{ 10}{4-x}+\frac{ 10}{4+x}\Big]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}\int_0^3 \Big[-\frac{10}{x-4}+\frac{10}{4+x}\Big]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{10}{3}\Big[-\log|x-4|+\log|x+4|\Big]_0^3 \\ &=\frac{10}{3}\log\Big|\frac{x+4}{x-4}\Big|\bigg|_0^3 =\frac{10}{3}[\log 7-\log 1] \\ &=\frac{10}{3}\log 7\quad\text{ 섭씨 도} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

By definition, the average temperature is $\frac{1}{3}\int_0^3 T(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{16-x^2}\,\mathrm{d}x$ We don't see an obvious substitution, but integrand is a rational function. The degree of the numerator is strictly less than the degree of the denominator, so we factor the denominator and use a partial fraction decomposition.

$\begin{aligned} \frac{80}{16-x^2}&=\frac{80}{(4-x)(4+x)} = \frac{A}{4-x}+\frac{B}{4+x}\\ 80&=A(4+x)+B(4-x) \\ \text{ Setting $x=4$, we see $80=8A$, so $A=10$. Setting $x=-4$, we see $80=8B$, so $B=10$. } \\ \frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{16-x^2}\,\mathrm{d}x&=\frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{(4-x)(4+x)}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int_0^3 \Big[\frac{ 10}{4-x}+\frac{ 10}{4+x}\Big]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}\int_0^3 \Big[-\frac{10}{x-4}+\frac{10}{4+x}\Big]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{10}{3}\Big[-\log|x-4|+\log|x+4|\Big]_0^3 \\ &=\frac{10}{3}\log\Big|\frac{x+4}{x-4}\Big|\bigg|_0^3 =\frac{10}{3}[\log 7-\log 1] \\ &=\frac{10}{3}\log 7\quad\text{ degrees Celsius} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.2절 · 5번우리말 번역

$f(x)$ 와 $g(x)$ 는 구간 $[0,10]$ 의 모든 수에서 정의된 함수라고 하자.

(a) $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \leq g(x)$ 이면, 구간 $[0,10]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값은 $g(x)$ 의 평균값보다 작거나 같은지, 아니면 알 수 있는 정보가 충분하지 않은지 판단하세요. (b) $[0.01,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \leq g(x)$ 라고 하자. 구간 $[0,10]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값은 $g(x)$ 의 평균값보다 작거나 같은지, 아니면 알 수 있는 정보가 충분하지 않은지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 예, $[0,10]$ 에서 $f(x)$ 의 평균은 $g(x)$ 의 평균보다 작거나 같다. 그 이유는 $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \leq g(x)$ 이면 다음이 성립하기 때문이다. $\frac{1}{10}\int_0^{10}f(x)\,\mathrm{d}x \leq \frac{1}{10}\int_0^{10}g(x)\,\mathrm{d}x.$ (b) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. 물론 성립할 수도 있다. 예를 들어 $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ , $g(x)=1$ 이라 하자. 그러면 $f(x) \leq g(x)$ 이고 $f(x)$ 의 평균은 0이며, 이는 $g(x)$ 의 평균인 1보다 작다.

그러나 $f(x) = \begin{cases} 100 & \text{(}0 \le x \le 0.01\text{ 일 때)}\\ 0 & \text{ 그 외 } \end{cases}$ 이고 $g(x) = 0$ 인 경우를 생각하자. 그러면 $[0.01,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \le g(x)$ 이지만, $f(x)$ 의 평균은 $0.1$ 이고 $g(x)$ 의 평균은 0이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 평균값활용보통자동 분류