함수의 평균값

정의에 따라, 구하는 평균값은 다음과 같다.

$$\frac1{\pi/2-0} \int_0^{\pi/2} ( 3\cos^3x + 2\cos^2x ) \,\mathrm{d}x = \frac2\pi \bigg( \int_0^{\pi/2} 3\cos^3x \,\mathrm{d}x + \int_0^{\pi/2} 2\cos^2x \,\mathrm{d}x \bigg)$$

첫 번째 적분에서는 치환 $u = \sin x$, $\mathrm{d}u=\cos x\,\mathrm{d}x$, $\cos^2 x=1-\sin^2 x = 1-u^2$ 을 사용한다. 적분 구간의 양 끝 $x=0$ 과 $x=\frac\pi2$ 는 각각 $u=0$ 과 $u=1$ 로 바뀜에 유의한다.

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} 3 \cos^3x \,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2} 3 \cos^2 x \cos x \,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^{1} 3(1-u^2) \,\mathrm{d}u \\ &= (3u-u^3)\Big|_0^1 = 2. \end{aligned}$$

두 번째 적분에서는 삼각함수 항등식 $\cos^2x\,\mathrm{d}x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ 을 사용한다.

$$\begin{aligned} 2 \int_0^{\pi/2} \cos^2x\,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2} \big(1 + \cos(2x) \big) \,\mathrm{d}x \\ &= \bigg[ x + \frac{1}{2}\sin(2x) \bigg]_0^{\pi/2} = \frac\pi2 \end{aligned}$$

따라서 구하는 평균값은 다음과 같다.

$$\frac2\pi \bigg( \int_0^{\pi/2} 3\cos^3x \,\mathrm{d}x + \int_0^{\pi/2} 2\cos^2x \,\mathrm{d}x \bigg) = \frac2\pi \bigg( 2 + \frac\pi2 \bigg) = \frac{4}{\pi}+1.$$