CLP-2 · 2.2절 · 23번대학 수준우리말 번역f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c 라 하자. 구간 [0,1][0,1][0,1] 에서 f(x)f(x)f(x) 의 평균값이 f(0)f(0)f(0) 과 f(1)f(1)f(1) 의 평균과 같을 때, aaa 의 값을 구하세요. 영어 원문 보기Suppose f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, and the average value of f(x)f(x)f(x) on the interval [0,1][0,1][0,1] is the same as the average of f(0)f(0)f(0) and f(1)f(1)f(1). What is aaa? 풀이 공책 펴기한 줄씩 식 확인답 쓰고 채점채점정답·풀이 보기문제에서 11−0∫01f(x) dx=f(0)+f(1)2\frac{1}{1-0}\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{f(0)+f(1)}{2}1−01∫01f(x)dx=2f(0)+f(1) 임을 알 수 있다. 이때 f(0)=cf(0)=cf(0)=c 이고 f(1)=a+b+cf(1) = a+b+cf(1)=a+b+c 이다. 11−0∫01f(x) dx=f(0)+f(1)2=c+(a+b+c)2∫01(ax2+bx+c) dx=a+b+2c2[a3x3+b2x2+cx]01=a2+b2+ca3+b2+c=a2+b2+ca3=aa=0\begin{aligned} \frac{1}{1-0}\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x &= \frac{f(0)+f(1)}{2} = \frac{c+(a+b+c)}{2}\\ \int_0^1 \big(ax^2+bx+c \big)\,\mathrm{d}x&=\frac{a+b+2c}{2}\\ \left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx \right]_0^1&=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+c \\\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c&=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+c\\ \frac{a}{3}&=a\\ a&=0 \end{aligned}1−01∫01f(x)dx∫01(ax2+bx+c)dx[3ax3+2bx2+cx]013a+2b+c3aa=2f(0)+f(1)=2c+(a+b+c)=2a+b+2c=2a+2b+c=2a+2b+c=a=0 즉, f(x)f(x)f(x) 는 일차함수이다. 원본 교재 풀이(영어)The question tells you 11−0∫01f(x) dx=f(0)+f(1)2\frac{1}{1-0}\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{f(0)+f(1)}{2}1−01∫01f(x)dx=2f(0)+f(1). Note f(0)=cf(0)=cf(0)=c, and f(1)=a+b+cf(1) = a+b+cf(1)=a+b+c. 11−0∫01f(x) dx=f(0)+f(1)2=c+(a+b+c)2∫01(ax2+bx+c) dx=a+b+2c2[a3x3+b2x2+cx]01=a2+b2+ca3+b2+c=a2+b2+ca3=aa=0\begin{aligned} \frac{1}{1-0}\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x &= \frac{f(0)+f(1)}{2} = \frac{c+(a+b+c)}{2}\\ \int_0^1 \big(ax^2+bx+c \big)\,\mathrm{d}x&=\frac{a+b+2c}{2}\\ \left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx \right]_0^1&=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+c \\\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c&=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+c\\ \frac{a}{3}&=a\\ a&=0 \end{aligned}1−01∫01f(x)dx∫01(ax2+bx+c)dx[3ax3+2bx2+cx]013a+2b+c3aa=2f(0)+f(1)=2c+(a+b+c)=2a+b+2c=2a+2b+c=2a+2b+c=a=0 That is, f(x)f(x)f(x) is linear. 한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번구간 [a,b][a,b][a,b] 에서 f(x)f(x)f(x) 의 평균값이, c>0c>0c>0 일 때 구간 [ac,bc]\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right][ca,cb] 에서 f(cx)f(cx)f(cx) 의 평균값과 같음을 보이세요. 풀이 공책 펴기한 줄씩 식 확인다 풀었으면 정답 확인증명 완료: 1bc−ac∫a/cb/cf(cx)dx=1b−a∫abf(u)du\dfrac{1}{\frac bc-\frac ac}\displaystyle\int_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(u)ducb−ca1∫a/cb/cf(cx)dx=b−a1∫abf(u)du 자세한 풀이 보고 이어서 풀기 # 함수의 평균값계산●●●도전자동 분류