함수의 평균값 연습문제 — CLP-2 · 2.2절 · 25번

CLP-2 · 2.2절 · 25번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 의 모든 수에서 정의된 함수이고, 이 구간에서의 평균값이 $A$ 라 하자. 구간 $[a,b]$ 에서 $f(a+b-x)$ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)$ be a function defined for all numbers in the interval $[a,b]$ , with average value $A$ over that interval. What is the average of $f(a+b-x)$ over the interval $[a,b]$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

구간 $[a,b]$ 에서 함수 $g(x)=f(a+b-x)$ 는 함수 $f(x)$ 의 좌우를 뒤집은 것이며, $g(a)=f(b)$ 이고 $g(b)=f(a)$ 이다. 따라서 $\int_a^b f(a+b-x)\,\mathrm{d}x = \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ 이고, 그러므로 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(a+b-x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ 이므로, $[a,b]$ 에서 $f(a+b-x)$ 의 평균값은 $A$ 이다.

다른 방법으로, 치환 $u=a+b-x$ , $\mathrm{d}x=-\mathrm{d}x$ 를 써서 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(a+b-x)\,\mathrm{d}x$ 를 직접 계산할 수도 있다.

$\begin{aligned} \frac{1}{b-a}\int_a^b f(a+b-x)\,\mathrm{d}x&=\frac{-1}{b-a}\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{-1}{b-a}\int_{b}^{a} f(u)\,\mathrm{d}u \\&=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(u)\,\mathrm{d}u \\&=A \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The function $g(x)=f(a+b-x)$ , on the interval $[a,b]$ , is a mirror of the function $f(x)$ , with $g(a)=f(b)$ and $g(b)=f(a)$ . So, $\int_a^b f(a+b-x)\,\mathrm{d}x = \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ , and hence $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(a+b-x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ , so the average value of $f(a+b-x)$ on $[a,b]$ is $A$ .

Alternately, we can evaluate $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(a+b-x)\,\mathrm{d}x$ directly, using the substitution $u=a+b-x$ , $\mathrm{d}x=-\mathrm{d}x$ :

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.2절 · 26번우리말 번역

$f(t)$ 가 연속함수이고, $A(x)$ 는 0부터 $x$ 까지의 구간에서 $f(t)$ 의 평균이라고 하자.

(a) $a<b$ 일 때, $[a,b]$ 에서 $f(t)$ 의 평균은 얼마입니까? $A$ 를 이용하여 나타내세요. (b) $f(t)$ 는 무엇입니까? 이번에도 $A$ 를 이용하여 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 함수 $A(x)$ 는 적분 구간의 한쪽 끝이 0일 때의 적분에 대한 정보만 준다. 1.2절의 정적분의 성질을 이용하여 적분을 두 개의 적분으로 나누면 이를 해결할 수 있다. 두 적분은 각각 적분 구간의 한쪽 끝이 0이다. 따라서 $[a,b]$ 에서 $f(t)$ 의 평균은 다음과 같이 구한다:

$\begin{aligned} \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t&= \frac{1}{b-a}\left(\int_a^0 f(t)\,\mathrm{d}t + \int_0^b f(t)\,\mathrm{d}t\right)\\ &=\frac{1}{b-a}\left(-\int_0^a f(t)\,\mathrm{d}t + \int_0^b f(t)\,\mathrm{d}t \right)\\ &=\frac{1}{b-a}\left(-a\cdot\underbrace{\frac{1}{a}\int_0^a f(t)\,\mathrm{d}t}_{A(a)} + b\cdot\underbrace{\frac{1}{b}\int_0^b f(t)\,\mathrm{d}t}_{A(b)} \right)\\ &=\frac{1}{b-a}\left(-aA(a)+bA(b) \right) = \frac{bA(b) - aA(a)}{b-a} \end{aligned}$ (b) $A(x)$ 의 정의로부터 다음을 알 수 있다. $A(x) = \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 즉, $xA(x) =\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 이다. $f(x)$ 를 구하기 위해 양변을 미분한다. 좌변은 곱의 미분법을 이용하고, 우변은 미적분의 기본정리 제1부분을 이용한다. $A(x)+xA'(x) = f(x)$ 따라서 $f(t)=A(t)+tA'(t)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 평균값계산도전자동 분류