함수의 평균값 연습문제 — CLP-2 · 2.2절 · 26번

CLP-2 · 2.2절 · 26번대학 수준우리말 번역

$f(t)$ 가 연속함수이고, $A(x)$ 는 0부터 $x$ 까지의 구간에서 $f(t)$ 의 평균이라고 하자.

(a) $a<b$ 일 때, $[a,b]$ 에서 $f(t)$ 의 평균은 얼마입니까? $A$ 를 이용하여 나타내세요. (b) $f(t)$ 는 무엇입니까? 이번에도 $A$ 를 이용하여 나타내세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(t)$ is a continuous function, and $A(x)$ is the average of $f(t)$ on the interval from 0 to $x$ .

(a) What is the average of $f(t)$ on $[a,b]$ , where $a<b$ ? Give your answer in terms of $A$ . (b) What is $f(t)$ ? Again, give your answer in terms of $A$ .

정답·풀이 보기

(a) 함수 $A(x)$ 는 적분 구간의 한쪽 끝이 0일 때의 적분에 대한 정보만 준다. 1.2절의 정적분의 성질을 이용하여 적분을 두 개의 적분으로 나누면 이를 해결할 수 있다. 두 적분은 각각 적분 구간의 한쪽 끝이 0이다. 따라서 $[a,b]$ 에서 $f(t)$ 의 평균은 다음과 같이 구한다:

$\begin{aligned} \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t&= \frac{1}{b-a}\left(\int_a^0 f(t)\,\mathrm{d}t + \int_0^b f(t)\,\mathrm{d}t\right)\\ &=\frac{1}{b-a}\left(-\int_0^a f(t)\,\mathrm{d}t + \int_0^b f(t)\,\mathrm{d}t \right)\\ &=\frac{1}{b-a}\left(-a\cdot\underbrace{\frac{1}{a}\int_0^a f(t)\,\mathrm{d}t}_{A(a)} + b\cdot\underbrace{\frac{1}{b}\int_0^b f(t)\,\mathrm{d}t}_{A(b)} \right)\\ &=\frac{1}{b-a}\left(-aA(a)+bA(b) \right) = \frac{bA(b) - aA(a)}{b-a} \end{aligned}$ (b) $A(x)$ 의 정의로부터 다음을 알 수 있다. $A(x) = \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 즉, $xA(x) =\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 이다. $f(x)$ 를 구하기 위해 양변을 미분한다. 좌변은 곱의 미분법을 이용하고, 우변은 미적분의 기본정리 제1부분을 이용한다. $A(x)+xA'(x) = f(x)$ 따라서 $f(t)=A(t)+tA'(t)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function $A(x)$ only gives us information about an integral when one limit of integration is zero. We can get around this by using properties of definite integrals from Section 1.2 to break our integral into two integrals, each of which has 0 as one limit of integration. So, we find the average of $f(t)$ on $[a,b]$ as follows:

$\begin{aligned} \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t&= \frac{1}{b-a}\left(\int_a^0 f(t)\,\mathrm{d}t + \int_0^b f(t)\,\mathrm{d}t\right)\\ &=\frac{1}{b-a}\left(-\int_0^a f(t)\,\mathrm{d}t + \int_0^b f(t)\,\mathrm{d}t \right)\\ &=\frac{1}{b-a}\left(-a\cdot\underbrace{\frac{1}{a}\int_0^a f(t)\,\mathrm{d}t}_{A(a)} + b\cdot\underbrace{\frac{1}{b}\int_0^b f(t)\,\mathrm{d}t}_{A(b)} \right)\\ &=\frac{1}{b-a}\left(-aA(a)+bA(b) \right) = \frac{bA(b) - aA(a)}{b-a} \end{aligned}$ (b) From the definition of $A(x)$ , we know $A(x) = \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ That is, $xA(x) =\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ To find $f(x)$ , we differentiate both sides. For the left side, we use the product rule; for the right side, we use the Fundamental Theorem of Calculus part 1. $A(x)+xA'(x) = f(x)$ So, $f(t)=A(t)+tA'(t)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.2절 · 23번우리말 번역

$f(x)=ax^2+bx+c$ 라 하자. 구간 $[0,1]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값이 $f(0)$ 과 $f(1)$ 의 평균과 같을 때, $a$ 의 값을 구하세요.

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문제에서 $\frac{1}{1-0}\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{f(0)+f(1)}{2}$ 임을 알 수 있다. 이때 $f(0)=c$ 이고 $f(1) = a+b+c$ 이다.

$\begin{aligned} \frac{1}{1-0}\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x &= \frac{f(0)+f(1)}{2} = \frac{c+(a+b+c)}{2}\\ \int_0^1 \big(ax^2+bx+c \big)\,\mathrm{d}x&=\frac{a+b+2c}{2}\\ \left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx \right]_0^1&=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+c \\\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c&=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+c\\ \frac{a}{3}&=a\\ a&=0 \end{aligned}$

즉, $f(x)$ 는 일차함수이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 평균값계산도전자동 분류