변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 5번

CLP-2 · 2.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

함수 $y=f(x)$ 가 어떤 상수 $C>0$ 에 대해 $|y| = Cx$ 를 만족시킨다고 하자.

(a) 주어진 정보로 볼 때, $f(x)$ 의 정의역이 될 수 있는 가장 큰 범위는 무엇인지 구하세요. (b) 다음 성질을 모두 갖는 함수 $y=f(x)$ 의 예를 들거나, 그런 함수가 존재하지 않음을 보이세요.

$|y| = Cx$ ,
모든 $x>0$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 가 존재하고,
어떤 $x$ 에서는 $y>0$ 이고, 다른 $x$ 에서는 $y<0$ 이다.

영어 원문 보기

Suppose a function $y=f(x)$ satisfies $|y| = Cx$ , for some constant $C>0$ .

(a) What is the largest possible domain of $f(x)$ , given the information at hand? (b) Give an example of function $y=f(x)$ with the following properties, or show that none exists:

$|y| = Cx$ ,
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ exists for all $x>0$ , and
$y>0$ for some values of $x$ , and $y<0$ for others.

정답·풀이 보기

(a) $y$ 가 어떤 값이든 $|y| \geq 0$ 이므로, $f(x)$ 의 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $Cx \ge 0$ 이다. $C$ 가 양수이므로 $f(x)$ 의 정의역에는 음이 아닌 수만 포함된다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역이 될 수 있는 가장 큰 범위는 $[0,\infty)$ 이다. (b) 존재하지 않는다.

아래 그림은 어떤 양의 상수 $C$ 에 대한 $Cx$ 의 그래프와 $-Cx$ 의 그래프이다. $y=f(x)$ 가 어떤 곳에서는 위쪽 함수이고 다른 곳에서는 아래쪽 함수라면, 그것이 바뀌는 곳에서 점프 불연속이 생긴다. 그러면 $f(x)$ 의 도함수가 존재하지 않게 되어 두 번째 성질에 어긋난다.

사소한 기술적 참고로, $x=0$ 에서 $f(x)=Cx$ 이고 $x>0$ 에서 $f(x)=-Cx$ 인 경우(또는 그 반대)가 가능하다. 이 경우에는 점프 불연속이 생기지 않지만, 어떤 $x$ 에서 $f(x)>0$ 이라는 조건은 만족시키지 못한다.

참고: 아래의 여러 경우에서, 미분방정식을 풀면 $|y|=g(x)$ 와 같은 결론에 이르게 된다. 이럴 때 우리는 $y=g(x)$ 또는 $y=-g(x)$ 중 하나를 택하며, $y=\pm g(x)$ (이것은 함수가 아니다)나 $y$ 가 어떤 곳에서는 $g(x)$ 이고 다른 곳에서는 $-g(x)$ 라고 택하지는 않는다. 위의 추론이 이 선택을 어느 정도 설명해 준다. $y$ 가 어떤 곳에서는 양수이고 다른 곳에서는 음수라면, $y$ 의 부호가 바뀌는 $x$ 의 값에서는 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 가 존재하지 않기 때문이다. 단, 그 부호 변화가 $g(x)$ 의 근에서 일어나는 경우는 예외이다. 그런 경우는 매우 특수하므로, 우리는 기술적인 세부 사항에 얽매이지 않기 위해 보통 이를 무시해도 안전하다고 본다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $|y| \geq 0$ no matter what $y$ is, we see $Cx \ge 0$ for all $x$ in the domain of $f(x)$ . Since $C$ is positive, that means the domain of $f(x)$ only includes nonnegative numbers. So, the largest possible domain of $f(x)$ is $[0,\infty)$ . (b) None exists.

The graph of $Cx$ is given below for some positive constant $C$ , also with the graph of $-Cx$ . If $y=f(x)$ were sometimes the top function, and other times the bottom function, then there would be a jump discontinuity where it switched. Then the derivative of $f(x)$ would not exist, violating the second property.

A tiny technical note is that it's possible that $f(x)=Cx$ when $x=0$ and $f(x)=-Cx$ when $x>0$ (or vice-versa). This would not introduce a jump discontinuity, but it also does not satisfy that $f(x)>0$ for some values of $x$ .

Remark: in several instances below, solving a differential equation will lead us to conclude something like $|y|=g(x)$ . In these cases, we choose either $y=g(x)$ , or $y=-g(x)$ , but not $y=\pm g(x)$ (which is not a function) or that $y$ is sometimes $g(x)$ , and other times $-g(x)$ . The reasoning above somewhat explains this choice: if $y$ were sometimes positive and sometimes negative, then $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ would not exist at the values of $x$ where the sign of $y$ switches, unless that switch occurrs at a root of $g(x)$ . Since that's a pretty specific occurrence, we usually feel safe ignoring it to avoid getting bogged down in technical details.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 28번우리말 번역

유체 속에서 움직이는 물체의 처음 속도 $v$ 는 400 m/min 이다. 속도는 속도의 제곱에 비례하는 비율로 감소한다. 1분 후의 속도는 200 m/min 이다.

(a) 시간을 $t$ 라 할 때, 속도 $v=v(t)$ 에 대한 미분방정식을 쓰세요. (b) 이 미분방정식을 푸세요. (c) 물체의 속도가 50 m/min 이 되는 때는 언제인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 시각 $t$ 에서 속력의 변화율은 어떤 비례상수 $k$ 에 대해 $-kv(t)^2$ 이다 ( $k$ 는 나중에 구하지만, 속력이 감소하므로 양수라고 가정한다). 따라서 $v(t)$ 는 미분방정식 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2$ 을 만족시킨다. (b) 방정식 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2$ 은 변수분리형 미분방정식이므로 다음과 같이 보통의 방법으로 풀 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-kv^2\\ \frac{\mathrm{d}v}{-v^2}&=k\mathrm{d}t\\ \int -\frac{\mathrm{d}v}{v^2} &=\int k\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{시각 $t=0$ 에서 $v=400$ 이므로 $C=\frac{1}{400}$ 이다. 그러면:} \\ \frac{1}{v}&=kt+\frac{1}{400}\tag{$*$} \\ \text{시각 $t=1$ 에서 $v=200$ 이므로 } \\ \frac{1}{200}&=k+\frac{1}{400}\\ k&=\frac{1}{400} \\ \text{따라서 ($*$)에서,} \\ \frac{1}{v}&=\frac{t}{400}+\frac{1}{400} = \frac{t+1}{400}\\ v&=\frac{400}{t+1} \end{aligned}$ (c) 속력이 50이 되는 때를 구하려면, (b)에서 얻은 식에 $v=50$ 을 대입하여 $t$ 에 대해 푼다.

$\begin{aligned} 50&=\frac{400}{t+1}\\ 50(t+1)&=400\\ t+1&=8\\ t&=7 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식증명·논술기본자동 분류