변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 28번

CLP-2 · 2.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

유체 속에서 움직이는 물체의 처음 속도 $v$ 는 400 m/min 이다. 속도는 속도의 제곱에 비례하는 비율로 감소한다. 1분 후의 속도는 200 m/min 이다.

(a) 시간을 $t$ 라 할 때, 속도 $v=v(t)$ 에 대한 미분방정식을 쓰세요. (b) 이 미분방정식을 푸세요. (c) 물체의 속도가 50 m/min 이 되는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

An object moving in a fluid has an initial velocity $v$ of 400 m/min. The velocity is decreasing at a rate proportional to the square of the velocity. After 1 minute the velocity is 200 m/min.

(a) Give a differential equation for the velocity $v=v(t)$ where $t$ is time. (b) Solve this differential equation. (c) When will the object be moving at 50 m/min?

정답·풀이 보기

(a) 시각 $t$ 에서 속력의 변화율은 어떤 비례상수 $k$ 에 대해 $-kv(t)^2$ 이다 ( $k$ 는 나중에 구하지만, 속력이 감소하므로 양수라고 가정한다). 따라서 $v(t)$ 는 미분방정식 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2$ 을 만족시킨다. (b) 방정식 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2$ 은 변수분리형 미분방정식이므로 다음과 같이 보통의 방법으로 풀 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-kv^2\\ \frac{\mathrm{d}v}{-v^2}&=k\mathrm{d}t\\ \int -\frac{\mathrm{d}v}{v^2} &=\int k\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{시각 $t=0$ 에서 $v=400$ 이므로 $C=\frac{1}{400}$ 이다. 그러면:} \\ \frac{1}{v}&=kt+\frac{1}{400}\tag{$*$} \\ \text{시각 $t=1$ 에서 $v=200$ 이므로 } \\ \frac{1}{200}&=k+\frac{1}{400}\\ k&=\frac{1}{400} \\ \text{따라서 ($*$)에서,} \\ \frac{1}{v}&=\frac{t}{400}+\frac{1}{400} = \frac{t+1}{400}\\ v&=\frac{400}{t+1} \end{aligned}$ (c) 속력이 50이 되는 때를 구하려면, (b)에서 얻은 식에 $v=50$ 을 대입하여 $t$ 에 대해 푼다.

$\begin{aligned} 50&=\frac{400}{t+1}\\ 50(t+1)&=400\\ t+1&=8\\ t&=7 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The rate of change of speed at time $t$ is $-kv(t)^2$ for some constant of proportionality $k$ (to be determined–but we assume it is positive, since the speed is decreasing). So $v(t)$ obeys the differential equation $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2$ . (b) The equation $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2$ is a separable differential equation, which we can solve in the usual way.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-kv^2\\ \frac{\mathrm{d}v}{-v^2}&=k\mathrm{d}t\\ \int -\frac{\mathrm{d}v}{v^2} &=\int k\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{At time $t=0$, $v=400$, so $C=\frac{1}{400}$. Then:} \\ \frac{1}{v}&=kt+\frac{1}{400}\tag{$*$} \\ \text{At time $t=1$, $v=200$, so } \\ \frac{1}{200}&=k+\frac{1}{400}\\ k&=\frac{1}{400} \\ \text{Therefore, from ($*$),} \\ \frac{1}{v}&=\frac{t}{400}+\frac{1}{400} = \frac{t+1}{400}\\ v&=\frac{400}{t+1} \end{aligned}$ (c) To find when the speed is 50, we set $v=50$ in the equation from (b) and solve for $t$ .

$\begin{aligned} 50&=\frac{400}{t+1}\\ 50(t+1)&=400\\ t+1&=8\\ t&=7 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 16번우리말 번역

다음을 만족하는 함수 $y=f(x)$ 를 구하세요.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -xy^3 \qquad\text{그리고}\qquad f(0)=-\frac{1}{4} \end{aligned}$

다 풀었으면 정답 확인

이것은 변수분리형 미분방정식이며, 다음과 같이 통상의 방법으로 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= -xy^3\\ - \frac{\mathrm{d}y}{y^3} &= x\ \mathrm{d}x\\ \int -\frac{\mathrm{d}y}{y^3} &= \int x\ \mathrm{d}x\\ - \frac{y^{-2}}{-2} &= \frac{x^2}{2}+C\\ y^{-2}&=x^2+2C. \tag{$*$} \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=-\frac{1}{4}$ 이려면 $C$ 를 다음을 만족하도록 택해야 한다} \\ {\Big(-\frac{1}{4} \Big)}^{-2}& =0 +2C\\ 16&= 2C \\ \text{따라서 ($*$)에서,} \\ y^{-2}&=x^2+2C =x^2+16\\ y^2&=\frac{1}{x^2+16} \\ \text{이제 $y(x)$ 의 후보는 두 가지이다:} \\ y&=\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}\qquad\text{또는}\qquad y=-\frac{1}{\sqrt{x^2+16}} \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=-\frac14$ 임을 안다. 위의 함수 중 이에 맞는 것은 다음뿐이다.} \\ y&=-\frac{1}{\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}$

따라서 $f(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{x^2+16}}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류