변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 6번

CLP-2 · 2.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 문장(이 문장은 로잔대학교 약동학 웹사이트의 “소거 동역학”을 https://sepia.unil.ch/pharmacology/index.php?id=94 에서 의역한 것이다. 모르핀의 반감기는 같은 웹사이트의 https://sepia.unil.ch/pharmacology/index.php?id=85 에 나와 있다. 2017년 8월 12일에 접속함.)을 미분방정식으로 나타내세요. 방정식을 풀 필요는 없습니다.

혈류 속 모르핀 총량의 약 0.3 퍼센트가 매분 소거된다.

영어 원문 보기

Express the following sentence (The sentence is paraphrased from the Pharmakokinetics website of Universite de Lausanne, “Elimination Kinetics," at https://sepia.unil.ch/pharmacology/index.php?id=94 . The half-life of morphine is given on the same website at https://sepia.unil.ch/pharmacology/index.php?id=85 . Accessed 12 August 2017.) as a differential equation. You don't have to solve the equation.

About 0.3 percent of the total quantity of morphine in the bloodstream is eliminated every minute.

정답·풀이 보기

$Q(t)$ 를 시각 $t$ 에서 환자의 혈류 속 모르핀의 양이라 하자. 여기서 $t$ 는 분 단위로 잰다.

도함수의 정의에 의하여 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\lim_{h \to 0}\frac{Q(t+h)-Q(t)}{h}\approx \frac{Q(t+1)-Q(t)}{1}$ 이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 는 $t$ 부터 $t+1$ 까지 1분 동안 모르핀 양의 변화량과 거의 같다.

문장에 의하면 1분 동안 모르핀 양의 변화량은 약 $-0.003Q$ 이다. 여기서 $Q$ 는 혈류 속 모르핀의 양이다. 즉 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-0.003Q(t)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $Q(t)$ be the quantity of morphine in a patient's bloodstream at time $t$ , where $t$ is measured in minutes.

Using the definition of a derivative, $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\lim_{h \to 0}\frac{Q(t+h)-Q(t)}{h}\approx \frac{Q(t+1)-Q(t)}{1}$ So, $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ is roughly the change in the amount of morphine in one minute, from $t$ to $t+1$ .

The sentence tells us that the change in the amount of morphine in one minute is about $-0.003Q$ , where $Q$ is the quantity in the bloodstream. That is: $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-0.003Q(t)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 15번우리말 번역

미분방정식 $\displaystyle\frac{y y'}{e^x -2x} = \frac{1}{y}$ 의 해 중에서 $y(0) = 3$ 을 만족시키는 것을 구하세요. $y$ 를 $x$ 의 함수로 완전히 풀어서 나타내세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다. 양변에 교차하여 곱해서 방정식을 다음과 같이 고쳐 쓴다.

$\begin{aligned} y^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= e^x -2x\\ y^2 \,\mathrm{d}y &= (e^x - 2x ) \,\mathrm{d}x. \\ \text{ 양변을 적분하면} \\ \int y^2 \,\mathrm{d}y &=\int (e^x - 2x ) \,\mathrm{d}x\\ \frac{1}{3}y^3 &= e^x - x^2 + C \\ \text{$x = 0$, $y = 3$ 을 대입하면 $\frac{1}{3}3^3=e^0-0^2+C$ 이므로 $C=8$ 이다.} \\ \frac{1}{3}y^3 &= e^x - x^2 + 8\\ y &= (3e^x -3x^2+ 24)^{1/3} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식활용기본자동 분류