변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 7번

CLP-2 · 2.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

어떤 언어에서 특정한 변화가 옛 형태에서 새 형태로 일어나고 있다고 합시다. ( 한 예로 독일어 동사 "볼렌(wollen)"의 2인칭 활용이 "볼트(wollt)"에서 "볼스트(wollst)"로 바뀐 것이 있습니다. 이 예는 사이트 계량언어학의 법칙(Laws in Quantitative Linguistics)의 "언어 변화(Change in Language)" http://lql.uni-trier.de/index.php/Change_in_language 에서 가져왔으며, 2017년 8월 18일에 접속했습니다. ) $p(t)$ 를 화자가 새 형태를 사용하는 시간의 비율(0은 전혀 사용하지 않음, 1은 항상 사용함을 뜻하며 0과 1 사이의 수로 나타냄)이라 하세요. 피오트로프스키의 법칙(피오트로프스키의 법칙은 글롯토피디아(Glottopedia)의 피오트로프스키 법칙(Piotrowski-Gesetz) 쪽, http://www.glottopedia.org/index.php/Piotrowski-Gesetz 의 내용을 풀어 쓴 것이며, 2017년 8월 18일에 접속했습니다. 이 출처에 따르면 이 법칙은 부부인 R. G. 피오트로프스키와 A. A. 피오트로프스카야의 연구를 바탕으로 하며, 이후 G. 알트만이 일반화했습니다.)은 다음을 예측합니다.

새 형태의 사용은 시간이 지남에 따라, 새 형태의 비율과 옛 형태의 비율의 곱에 비례하는 변화율로 퍼진다.

이를 미분방정식으로 나타내세요. 미분방정식을 풀 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

Suppose a particular change is occurring in a language, from an old form to a new form. ( An example is the change in German from “wollt" to “wollst" for the second-person conjugation of the verb “wollen." This example is provided by the site Laws in Quantitative Linguistics, “Change in Language" http://lql.uni-trier.de/index.php/Change_in_language accessed 18 August 2017. ) Let $p(t)$ be the proportion (measured as a number between 0, meaning none, and 1, meaning all) of the time that speakers use the new form. Piotrowski's law (Piotrowski's law is paraphrased from the page Piotrowski-Gesetz on Glottopedia, http://www.glottopedia.org/index.php/Piotrowski-Gesetz, accessed 18 August 2017. According to this source, the law was based on work by the married couple R. G. Piotrowski and A. A. Piotrowskaja, later generalized by G. Altmann. ) predicts the following.

Use of the new form over time spreads at a rate that is proportional to the product of the proportion of the new form and the proportion of the old form.

Express this as a differential equation. You do not need to solve the differential equation.

정답·풀이 보기

$p(t)$ 가 화자가 새 형태를 사용하는 시간의 비율이고 0과 1 사이의 값이므로, $1-p(t)$ 는 화자가 옛 형태를 사용하는 시간의 비율이다.

따라서 이 법칙은 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$ 가 $p(t)\times \big(1-p(t)\big)$ 에 비례한다고 말한다. 두 양이 비례한다는 것은 한 양이 다른 양의 상수 배라는 뜻이다. 그러므로 이 법칙은 어떤 상수 $\alpha$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\alpha p(t)\big(1-p(t)\big)$ 임을 뜻한다.

참고: 이 모형에 따르면 새 형태가 매우 드물거나 완전히 보편화되었을 때 그 채택의 변화율은 작다. 이는 타당하다. 새 형태가 항상 쓰이면( $p(t)\approx 1$ ) 새로 바꿀 사람이 남아 있지 않고, 새 형태가 거의 쓰이지 않으면( $p(t)\approx 0$ ) 사람들이 그 형태를 알지 못하므로 따라 쓰지 않기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $p(t)$ is the proportion of times speakers use the new form, measured between 0 and 1, then $1-p(t)$ is the proportion of times speakers use the old form.

The law, then, states that $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$ is proportional to $p(t)\times \big(1-p(t)\big)$ . When we say two quantities are proportional, we mean that one is a constant multiple of the other. So, the law says $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\alpha p(t)\big(1-p(t)\big)$ for some constant $\alpha$ .

Remark: it follows from this model that, when a new form is either very rare or entirely ubiquitous, the rate of change of its adoption is small. This makes sense: if the new form is used all the time ( $p(t)\approx 1$ ), there's nobody left to convert; if the new form is almost never used ( $p(t)\approx 0$ ) then people don't know about it, so they won't pick it up.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 14번우리말 번역

$y=y(x)$ 라 하자. 미분방정식 $y'=xe^y$ 의 일반해를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=xe^y\\ \frac{\mathrm{d}y}{e^y}&=x\,\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{e^y}&=\int x\,\mathrm{d}x\\ -e^{-y}&=\frac{1}{2} x^2+C\\ e^{-y}&=-\frac{1}{2} x^2-C \\ \text{$C$ 는 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수가 될 수 있으므로 $-C$ 도 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수가 될 수 있다. 따라서 $-C$ 대신 $C$ 로 쓴다.} \\ e^{-y}&=C-\frac{1}{2} x^2 \\-y&=\log\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \\y&=-\log\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \end{aligned}$

여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

해는 $C-\frac{x^2}{2}>0$ 일 때에만 존재한다. 이를 만족시키려면 $C>0$ 이어야 하고, 이때 이 함수의 정의역은 $|x|<\sqrt{2C}$ 를 만족시키는 $x$ 의 값들이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식활용기본자동 분류